如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式. (2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积. (3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由. |
答案
(1)y=﹣x2﹣3x+4。 (2)12 (3)存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。 |
解析
试题分析:(1)首先求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。 (2)设点C坐标为(m,0)(m<0),根据已知条件求出点E坐标为(m,8+m);由于点E在抛物线上,则可以列出方程求出m的值.在计算四边形CAEB面积时,利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO,可以简化计算。 (3)由于△ACD为等腰直角三角形,而△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。 解:(1)在直线解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣4, ∴A(﹣4,0),B(0,4)。 ∵点A(﹣4,0),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上, ∴,解得:。 ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣3x+4。 (2)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=﹣m,AC=4+m。 ∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。 ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为(m,8+m)。 ∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,∴8+m=﹣m2﹣3m+4,解得m=﹣2。 ∴C(﹣2,0),AC=OC=2,CE=6。 ∴S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+(6+4)×2﹣×2×4=12。 (3)设点C坐标为(m,0)(m<0), 则OC=﹣m,CD=AC=4+m,BD=OC=﹣m,则D(m,4+m)。 ∵△ACD为等腰直角三角形,若△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。 i)若∠BED=90°,则BE=DE, ∵BE=OC=﹣m,∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E(m,4)。 ∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上, ∴4=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣3。∴D(﹣3,1)。 ii)若∠EBD=90°,则BE=BD=﹣m, 在等腰直角三角形EBD中,DE=BD=﹣2m,∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E(m,4﹣m)。 ∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上, ∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣2。 ∴D(﹣2,2)。 综上所述,存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。 |
举一反三
如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.
(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式; (2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标; (3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. |
如图,已知直线y=x与抛物线交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标; (2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围; (3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标. |
“绿色出行,低碳健身”已成为广大市民的共识.某旅游景点新增了一个公共自行车停车场,6:00至18:00市民可在此借用自行车,也可将在各停车场借用的自行车还于此地.林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数,以及停车场整点时刻的自行车总数(称为存量)情况,表格中x=1时的y值表示7:00时的存量,x=2时的y值表示8:00时的存量…依此类推.他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.
时段
| x
| 还车数(辆)
| 借车数(辆)
| 存量y(辆)
| 6:00﹣7:00
| 1
| 45
| 5
| 100
| 7:00﹣8:00
| 2
| 43
| 11
| n
| …
| …
| …
| …
| …
| 根据所给图表信息,解决下列问题: (1)m= ,解释m的实际意义: ; (2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式; (3)已知9:00~10:00这个时段的还车数比借车数的3倍少4,求此时段的借车数.
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是
A.a<0 | B.b2﹣4ac<0 | C.当﹣1<x<3时,y>0 | D. |
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