如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.(1)求这

如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.(1)求这

题型:不详难度:来源:
如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<
①当t=1时,△ADF与△DEF是否相似?请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可)
答案
(1)y=﹣x2+3
(2)①由对应边成比例可证得
②画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出t的取值范围.确定限制条件是解题的关键
解析

试题分析:解:(1)由题意得AB的中点坐标为(﹣,0),
CD的中点坐标为(0,3),           2分

分别代入y=ax2+b得
,解得,
∴y=﹣x2+3.                3分
(2)①如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=2

∴sinC===,∴∠C=60°,∠CBE=30°
∴EC=BC=,DE=           4分
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°﹣60°=120°           5分
∵t=1,
∴B点为(1,0)
∴F(1,2) ,E(1,3)
∴EF=1                  6分
在Rt△DEF中
tan∠EDF=
∴∠EDF=300
∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=1200—300=900
∴∠ADF=∠DEF
∴DF=2EF=2           7分
又∵,

∴△ADF∽△DEF           8分
②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.

观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE且MN≥C′N.
∵F(t,3﹣t2),∴EF=3﹣(3﹣t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2
由EE′≤BE,得2t2≤3,解得t≤
∵C′E′=CE=,∴C′点的横坐标为t﹣
∴MN=3﹣(t﹣2,又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2
由MN≥C′N,得3﹣(t﹣2≥3﹣2t2,解得t≥
∴t的取值范围为:.           11分
点评:本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换(平移与旋转)、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点,难度较大,对考生能力要求很高.
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙与y轴正半轴交于点C,连接BC、AC,CD是⊙的切线,AD⊥CD于点D,tan∠CAD=,抛物线过A、B、C三点.

(1)求证:∠CAD=∠CAB;
(2)求抛物线的解析式;
(3)判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直角坐标系中,⊙Py轴相切于点C,与x轴交于Ax1,0),Bx2,0)两点,其中x1x2是方程x2-10x+16=0的两个根,且x1<x2,连接BC,AC.

(1)求过ABC三点的抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QAC的周长最小,若存在求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M在第一象限的抛物线上,当△MBC的面积最大时,求点M的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知二次函数的图像与轴交于AB两点,与轴交于点C,连接AC,点P是抛物线上的一个动点,记△APC的面积为S,当S=2时,相应的点P的个数是(   )
A.4 个B.3个C.2个D.1个

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已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),交轴于点CM为抛物线的顶点,连接MB

(1)求该抛物线的解析式;
(2)在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形,若存在,请求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)设Q点的坐标为(8,0),将该抛物线绕点Q旋转180°后,点M的对应点为,求的度数.
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已知抛物线的顶点(-1,-4)且过点(0,-3),直线l是它的对称轴。

(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),交y轴于点C,P为l上的一动点,当△PBC的周长最小时,求P点的坐标。
(3)在直线l上是否存在点M,使△MBC是等腰三角形,若存在,直接写出符合条件的点M的坐标;若不存在请说明理由。
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