如图,已知二次函数的图象过点.(1)求二次函数的解析式;(2)求证:是直角三角形;(3)若点在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点作垂直轴于点,试探究是否存在以

如图,已知二次函数的图象过点.(1)求二次函数的解析式;(2)求证:是直角三角形;(3)若点在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点作垂直轴于点,试探究是否存在以

题型:不详难度:来源:
如图,已知二次函数的图象过点.

(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:是直角三角形;
(3)若点在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点垂直轴于点,试探究是否存在以为顶点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标.若不存在,请说明理由.
答案
(1)二次函数的解析式
(2)可证明,即有△ACB是直角三角形
(3)存在合条件的P点的坐标为(),(
解析

试题分析:解: ∵二次函数的图象

过点A(-4,3),B(4,4),

 
(2)易知C点的坐标为(-2,0), D的坐标为(),  
BBM轴于点M,     ∴,        
类似的可得,
,即有△ACB是直角三角形.  
(3)存在以PHD三点为顶点的三角形与△ABC相似.  
P的坐标为(),易得,则 
①当时,
,    ∴ .
,∴.
,∴
解得,则P点的坐标为(
②当时,
,∴ .
,∴.
同理可得:解得,则P点的坐标为()
故合条件的P点的坐标为(),().  
点评:本题难度较大,主要考查学生对抛物线及相似三角形综合应用能力。为中考常考题型,解决抛物线问题时注意分析已知点坐标与函数式关系为解题关键。
举一反三
如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<
①当t=1时,△ADF与△DEF是否相似?请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可)
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙与y轴正半轴交于点C,连接BC、AC,CD是⊙的切线,AD⊥CD于点D,tan∠CAD=,抛物线过A、B、C三点.

(1)求证:∠CAD=∠CAB;
(2)求抛物线的解析式;
(3)判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直角坐标系中,⊙Py轴相切于点C,与x轴交于Ax1,0),Bx2,0)两点,其中x1x2是方程x2-10x+16=0的两个根,且x1<x2,连接BC,AC.

(1)求过ABC三点的抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QAC的周长最小,若存在求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M在第一象限的抛物线上,当△MBC的面积最大时,求点M的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知二次函数的图像与轴交于AB两点,与轴交于点C,连接AC,点P是抛物线上的一个动点,记△APC的面积为S,当S=2时,相应的点P的个数是(   )
A.4 个B.3个C.2个D.1个

题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),交轴于点CM为抛物线的顶点,连接MB

(1)求该抛物线的解析式;
(2)在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形,若存在,请求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)设Q点的坐标为(8,0),将该抛物线绕点Q旋转180°后,点M的对应点为,求的度数.
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