如图,在直角坐标系中,点A(0,4),B(-3,4),C(-6,0),动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动,动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的

如图,在直角坐标系中,点A(0,4),B(-3,4),C(-6,0),动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动,动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,点A(0,4),B(-3,4),C(-6,0),动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动,动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动,过点P作PD⊥y轴,交OB于D,连接DQ.当点P与点O重合时,两动点均停止运动.设运动的时间为t秒.

(1)当t=1时,求线段DP的长;
(2)连接CD,设△CDQ的面积为S,求S关于t的函数解析式,并求出S的最大值;
(3)运动过程中是否存在某一时刻,使△ODQ与△ABC相似?若存在,请求出所有满足要求的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2)S=,当时,S最大值=4;(3)
解析

试题分析:(1)先由题意得到OA=4,AB=3,CO=6,再求出当t=1时,AP、OP的长,最后根据PD⊥y轴,AB⊥y轴,结合平行线分线段成比例即可列比例式求解;
(2)作DE⊥CO于点E,分别用含t的字母表示出CQ、AP、OP,即可表示出DE的长,再根据三角形的面积公式即可得到S关于t的函数解析式,根据二次函数的性质即可求得S的最大值;
(3)分两种情况,结合相似三角形的判定方法讨论即可.
(1)由A(0,4),B(-3,4),C(-6,0)可知OA=4,AB=3,CO=6,
当t=1时,AP=1,则OP=3,
∵PD⊥y轴,AB⊥y轴
∴PD∥AB
 
 
解得DP=
(2)CQ=2t,AP=t,OP=4–t
作DE⊥CO于点E,则DE=OP=4–t   
∴S==×2t×(4–t)=   
时,S最大值=4
(3)分两种情况讨论:
①当时,点Q在CO上运动(当t=3时,△ODQ不存在)
∵AB∥CO 
∴∠BOC=∠ABO<∠ABC
可证得BO=BC
∴∠BOC=∠BCO>∠BCA
∵AB∥CO
∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC
∴当时,△ODQ与△ABC不可能相似。
②当时,点Q在x轴正半轴上运动,
延长AB,由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC,
∴∠ABC=∠DOQ
OQ=,由DP∥AB可得OD=
时,
 ,内;
时,
内;
∴存在,使△ODQ与△ABC相似。
点评:解答本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值的方法:公式法或配方法;同时熟练运用平行线分线段成比例,准确列出比例式解决问题.
举一反三
下列函数:①,②,③,④中,的增大而增大的函数有(  )
A.①②③ B.②③④C.①②④D.①③④

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在平面直角坐标系中,如果抛物线不动,而把轴、轴分别向上、向右平移3个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是(  )
A.B.
C.D.

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抛物线顶点坐标是      .
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抛物线的顶点坐标是(   )
A.(1,-3)B.(-1,-3)C.(1,3)D.(-1,3)

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已知二次函数的图象如图所示,令,则(   )
A.M>0B.M<0
C.M=0 D.M的符号不能确定

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