在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点 .小
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点 .
小题1:求直线BC及抛物线的解析式 小题2:设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标; 小题3:连结CD,求∠OCA与∠OCD两角度数的和 |
答案
小题1:沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点,. 设直线的解析式为.在直线上,. 解得,直线的解析式为. ……………………………1分 抛物线过点,
解得 抛物线的解析式为. ………………………3分 小题2:由. 可得.,,,. 可得是等腰直角三角形. ,. 如图,设抛物线对称轴与轴交于点, . 过点作于点..可得,. 在与中,,, .,.解得. ……………5分 点在抛物线的对称轴上, 点的坐标为或. ………………………………7分 小题3:作点A(1,0)关于y轴的对称点A′,则A′(-1,0)。 连结A′C,A′D,可得A′C=AC=,∠OC A′=∠OCA。 由勾股定理可得CD2=20, A′D2=10, 又 A′C2=10∴ A′D2+ A′C2=CD2。 ∴△ A′DC是等腰直角三角形,∠C A′D=90º, ∴∠DC A′=45º,∴∠OC A′+∠OCD=45º,∴∠OCA+∠OCD=45º, 即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45º。 ………………………………………10分 |
解析
(1)依题意设直线BC的解析式为y=kx+3,把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式.然后又已知抛物线y=x2+bx+c过点B,C,代入求出解析式. (2)由y=x2-4x+3求出点D,A的坐标.得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC,CB的值.过A点作AE⊥BC于点E,求出BE,CE的值.证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴,求出点P的坐标. (3)本题要靠辅助线的帮助.作点A(1,0)关于y轴的对称点A",则A"(-1,0),求出A"C=AC,由勾股定理可得CD,A"D的值.得出△A"DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度. |
举一反三
如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),抛物线的顶点为D. 小题1:求抛物线的解析式和顶点D的坐标 小题2:二次函数的图像上是否存在点P,使得S△PAB=8S△ABD?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由; 小题3:若抛物线的对称轴与x轴交于E点,点F在直线BC上,点M在的二次函数图像上,如果以点F、M、D、E为顶点的四边形是平行四边形,请你求出符合条件的点M的坐标. |
在直角坐标平面上将二次函数y=x2-2x-1的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )A.(0,0) | B.(0,-1) | C.(1,-2) | D.(-2,1) |
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如图,已知平面直角坐标系中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m﹥1,连结,,作轴于点,轴于点.
小题1:求证:mn=6 小题2:当时,抛物线经过两点且以轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式 小题3:在(2)的条件下,设直线交轴于点,过点作直线交抛物线于两点,问是否存在直线,使S⊿POF:S⊿QOF=1:2?若存在,求出直线对应的函数关系式;若不存在,请说明理由. |
抛物线y = (x-3)2 +5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是 ( ▲ ) A.开口向上;直线x=-3;(-3,5) B.开口向下;直线x=3;(-3, -5) C. 开口向上;直线x=3;(3, 5) D.开口向下;直线x=-3;(3, -5) |
某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A种产品,所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:
x(万元)
| 1
| 2
| 2.5
| 3
| 5
| yA(万元)
| 0.4
| 0.8
| 1
| 1.2
| 2
| 信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元. (1)求出yB与x的函数关系式. (2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系,并求出yA与x的函数关系式. (3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少? |
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