如图10-1,已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的函数表达式;(2分)(2)若点P是线段AB上的一个动点(不与

如图10-1,已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的函数表达式;(2分)(2)若点P是线段AB上的一个动点(不与

题型:不详难度:来源:
如图10-1,已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点,与y轴交于
点C,且OB=OC.
(1)求抛物线的函数表达式;(2分)
(2)若点P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),分别以AP、BP为一边,在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN,求△PMN的最大面积,并写出此时点P的坐标;(3分)
(3)如图10-2,若抛物线的对称轴与x轴交于点D,F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,直线FD与y轴交于点E.是否存在点F,使△DOE与△AOC相似?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.(4分)
    
答案
(1)解:令x = 0得,y = 4,∴C(0,4)
∴OB=OC=4,∴B(4,0)…………………………………………1分
代入抛物线表达式得:
16a–8a + 4 = 0,解得a =
∴抛物线的函数表达式为………………………2分
(2)解:过点M作MG⊥x轴于G,过点N作NH⊥x轴于H,

设P(x,0),△PMN的面积为S,则
PG=,MG=,PH=,NH=
∴S=
=
=
= …………………………3分
=
,∴当x=1时,S有最大值是………………4分
∴△PMN的最大面积是,此时点P的坐标是(1,0)………………5分
(3)解:存在点F,使得△DOE与△AOC相似.有两种可能情况:
①△DOE∽△AOC;②△DOE∽△COA
由抛物线得:A(–2,0),对称轴为直线x = 1
∴OA=2,OC=4,OD=1
①若△DOE∽△AOC,则
,解得OE=2
∴点E的坐标是(0,2)或(0,–2)
若点E的坐标是(0,2),则直线DE为:
解方程组
得:(不合题意,舍去)
此时满足条件的点F1的坐标为()……………………6分
若点E的坐标是(0,–2),
同理可求得满足条件的点F2的坐标为()…………7分
②若△DOE∽△COA,
同理也可求得满足条件的点F3的坐标为()……………8分
满足条件的点F4的坐标为()………………………………9分
综上所述,存在满足条件的点F,点F的坐标为:
F1)、F2)、F3
或F4).
解析

举一反三
如图,矩形是矩形(边轴正半轴上,边轴正半
轴上)绕点逆时针旋转得到的,点在轴的正半轴上,点的坐标为

(1)如果二次函数)的图象经过两点且图象顶点的纵坐标为,求这个二次函数的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请求出点的坐标和的面积;若不存在,请说明理由;
(3)求边所在直线的解析式.
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已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图13).
(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标;
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴,并且经过点B、C的抛物线的解析式.
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如图15,抛物线轴交于两点,与轴交于点,连结,若
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点,使若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图16所示,连结是线段上(不与重合)的一个动点.过点 作直线,交抛物线于点,连结,设点的横坐标为.当t为何值时,的面积最大?最大面积为多少?
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(2011四川泸州,12,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4

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(2011四川泸州,27,10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 (0,),且 ac=
(1)若该函数的图象经过点(-1,-1).
①求使y<0成立的x的取值范围.
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切,求圆心的坐标.
(2)经过A(0,p)的直线与该函数的图象相交于M,N两点,过M,N作x轴的垂线,垂足分别为M1,N1,设△MAM1,△AM1N1,△ANN1的面积分别为s1,s2,s3,是否存在m,使得对任意实数p≠0都有s22=ms1s3成立,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.

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