(1)解:令x = 0得,y = 4,∴C(0,4) ∴OB=OC=4,∴B(4,0)…………………………………………1分 代入抛物线表达式得: 16a–8a + 4 = 0,解得a = ∴抛物线的函数表达式为………………………2分 (2)解:过点M作MG⊥x轴于G,过点N作NH⊥x轴于H,
设P(x,0),△PMN的面积为S,则 PG=,MG=,PH=,NH= ∴S= = = = …………………………3分 = ∵,∴当x=1时,S有最大值是………………4分 ∴△PMN的最大面积是,此时点P的坐标是(1,0)………………5分 (3)解:存在点F,使得△DOE与△AOC相似.有两种可能情况: ①△DOE∽△AOC;②△DOE∽△COA 由抛物线得:A(–2,0),对称轴为直线x = 1 ∴OA=2,OC=4,OD=1 ①若△DOE∽△AOC,则 ∴,解得OE=2 ∴点E的坐标是(0,2)或(0,–2) 若点E的坐标是(0,2),则直线DE为: 解方程组 得:,(不合题意,舍去) 此时满足条件的点F1的坐标为(,)……………………6分 若点E的坐标是(0,–2), 同理可求得满足条件的点F2的坐标为(,)…………7分 ②若△DOE∽△COA, 同理也可求得满足条件的点F3的坐标为(,)……………8分 满足条件的点F4的坐标为(,)………………………………9分 综上所述,存在满足条件的点F,点F的坐标为: F1(,)、F2(,)、F3(, 或F4(,). |