已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（2，4），其顶点的横坐标是，它的图象与x轴交点为B（x1，0）和（x2，0），且x12+x22=13．求：（1）此

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已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，4），其顶点的横坐标是，它的图象与x轴交点为B（x₁，0）和（x₂，0），且x₁²+x₂²=13．求：
（1）此函数的解析式，并画出图象；
（2）在x轴上方的图象上是否存在着D，使S_△ABC=2S_△DBC？若存在，求出D的值；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，4），
∴4a+2b+c=4 ①
∵顶点的横坐标是，﹣②
∵函数图象与x轴交点为B（x₁，0）和（x₂，0），
∴x₁+x₂=﹣，x₁x₂=，③
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂，
由②得：a=﹣b代入①得：﹣2b+c=4 c=2b+4，
将a=﹣b c=2b+4代入③得：b²+2b（2b+4）=13b²，
b=0或b=1
∵b=0不合题意，
∴b=1，a=﹣1，c=6
∴y=﹣x²+x+6；
（2）设D（x，y） 则S_△ABC=×BC×4=10，
S_△DBC=×5|y|=y=5，
∴y=2，
将y=2代入y=﹣x²+x+6，

∴或．