如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx-1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2

如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx-1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2

题型:湖北省中考真题难度:来源:
如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx-1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值。 
答案
解:过B作BE⊥AD于E,连结OB、CE交于点P,
∵P为矩形OCBE的对称中心,则过P点的直线平分矩形OCBE的面积,
∵P为OB的中点,而B(4,2)
∴P点坐标为(2,1)
在Rt△ODC与Rt△EAB中,
OC=BE,AB=CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB(HL),
∴S△ODC=S△EBA
∴过点(0,-1)与P(2,1)的直线平分等腰梯形面积,这条直线为y=kx-1
∴2k-1=1
∴k=1 
的图象与坐标轴只有两个交点,
①当m=0时,y=-x+1,其图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0)
②当m≠0时,函数的图象为抛物线,且与y轴总有一个交点(0,2m+1)
若抛物线过原点时,2m+1=0,即m=
此时△==(m+1)2>0
∴抛物线与x轴有两个交点且过原点,符合题意,
若抛物线不过原点,且与x轴只有一个交点,也合题意,
此时△′==0

综上所述,m的值为m=0或或-1。
举一反三
如图,已知函数与y=ax2+bx(a>0,b<0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于的方程的解为(    )。
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已知抛物线y=
(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D;
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。
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孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:
(1)若测得 OA=OB=(如图1),求a的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标。
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已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为(1,0),则它与x轴的另一个交点坐标是[     ]
A.(1,0)
B.(2,0)
C.(-2,0)
D.(-1,0)
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已知:抛物线y=a(x-2)2+b(ab<0)的顶点为A,与x轴的交点为B,C(点B在点C的左侧)。
(1)直接写出抛物线对称轴方程;
(2)若抛物线经过原点,且△ABC为直角三角形,求a,b的值;
(3)若D为抛物线对称轴上一点,则以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,请写出a,b满足的关系式;若不能,说明理由。
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