如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点D(0,4).(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的顶点C的坐标;(3)

如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点D(0,4).(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的顶点C的坐标;(3)

题型:不详难度:来源:
如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点D(0,4).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的顶点C的坐标;
(3)求四边形ACBD的面积?
答案
(1)设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-6),
把D(0,4)代入得a×(-2)×(-6)=4,解得a=
1
3

所以二次函数的解析式为y=
1
3
(x-2)(x-6)=
1
3
x2-
8
3
x+4;

(2)y=
1
3
(x-2)(x-6)=
1
3
(x2-8x)+4=
1
3
(x-4)2-
4
3

所以该抛物线的顶点C的坐标为(4,-
4
3
);

(3)S四边形ACBD=S△ADB+S△ACB
=
1
2
×4×4+
1
2
×4×
4
3

=
32
3
举一反三
如图,临沂三河口大桥有一段抛物线行的工桥梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和20秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需______秒.
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如图,在直角坐标系内,O为坐标原点,点A的坐标为(1,0),点B在x轴上且在点A的右端,OA=AB,分别过点A、B作x轴的垂线,与二次函数y=x2的图象交于C、D两点,分别过点C、D作y轴的垂线,交y轴于点E、F,直线CD交y轴于点H.
(1)验证:S矩形OACE:S梯形ECDF=2:9;
(2)如果点A的坐标改为(t,0)(t>0),其他条件不变,(1)的结论是否成立?请说明理由.
(3)如果点A的坐标改为(t,0)(t>0),二次函数改为y=ax2(a>0),其他条件不变,记点C、D的横坐标分别为xC、xD,点H的横坐标为yH,试证明:xCxD=-
1
a
yH

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如图,在矩形OABC中,OA=8,OC=4,OA、OC分别在x,y轴上,点D在OA上,且CD=AD,
(1)求直线CD的解析式;
(2)求经过B、C、D三点的抛物线的解析式;
(3)在上述抛物线上位于x轴下方的图象上,是否存在一点P,使△PBC的面积等于矩形的面积?若存在,求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
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如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-


3
x+3


3
,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.
(1)求A、B、C三个点的坐标;
(2)点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.
①求证:AN=BM;
②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.
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如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,2),把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC,(点A旋转到点B的位置),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过B,C两点,与x轴的另一个交点为点D,顶点为点P,对称轴为直线x=3,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接BC,CP,PD,BD,求四边形PCBD的面积;
(3)在抛物线上是否存在一点M,使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
1
3
?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
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