如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个

如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个

题型:不详难度:来源:
如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为s,求s与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出s的最大值;
(3)在(2)的条件下,当s取得最大值时,过点P作x的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为P′,请直接写出P′点坐标,并判断点P′是否在该抛物线上.
答案
(1)设y=a(x+1)(x-3),(1分)
把C(0,3)代入,得a=-1,(2分)
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.(4分)
顶点D的坐标为(1,4).(5分)

(2)设直线BD解析式为:y=kx+b(k≠0),把B、D两点坐标代入,





3k+b=0
k+b=4
,(6分)
解得k=-2,b=6.
∴直线BD解析式为y=-2x+6.(7分)
s=
1
2
PE•OE=
1
2
xy=
1
2
x(-2x+6)=-x2+3x,(8分)
∴s=-x2+3x(1<x<3)(9分)
s=-(x2-3x+
9
4
)+
9
4
=-(x-
3
2
2+
9
4
.(10分)
∴当x=
3
2
时,s取得最大值,最大值为
9
4
.(11分)

(3)当s取得最大值,x=
3
2
,y=3,
P(
3
2
,3)
.(5分)
∴四边形PEOF是矩形.
作点P关于直线EF的对称点P′,连接P′E、P′F.
法一:过P′作P′H⊥y轴于H,P′F交y轴于点M.
设MC=m,∵COPF,
∴∠2=∠PFC,
由对称可知∠PFC=∠P′FC,
∴∠2=∠P′FC,
则MF=MC=m,P′M=3-m,P′E=
3
2

在Rt△P′MC中,由勾股定理,(
3
2
)2+(3-m)2=m2

解得m=
15
8

∵CM•P′H=P′M•P′E,
∴P′H=
9
10

由△EHP′△EP′M,可得
EH
EP′
=
EP′
EM
,EH=
6
5

∴OH=3-
6
5
=
9
5

∴P′坐标(-
9
10
9
5
)
.(13分)
法二:连接PP′,交CF于点H,分别过点H、P′作PC的垂线,垂足为M、N.
易证△CMH△HMP.
CM
MH
=
MH
PM
=
1
2

设CM=k,则MH=2k,PM=4k.
∴PC=5k=
3
2
,k=
3
10

由三角形中位线定理,PN=8k=
12
5
,P′N=4k=
6
5

∴CN=PN-PC=
12
5
-
3
2
=
9
10
,即x=-
9
10

y=PF-P′N=3-
6
5
=
9
5

∴P′坐标(-
9
10
9
5
).(13分)
把P′坐标(-
9
10
9
5
)代入抛物线解析式,不成立,所以P′不在抛物线上.(14分)
举一反三
如图1,抛物线y=-
2
3
x2+bx+c与x轴相交于点A,C,与y轴相交于点B,连接AB,BC,点A的坐标为(2,0),tan∠BAO=2,以线段BC为直径作⊙M交AB与点D,过点B作直线lAC,与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E,F.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求点C的坐标和线段EF的长;
(3)如图2,连接CD并延长,交直线l于点N,点P,Q为射线NB上的两个动点(点P在点Q的右侧,且不与N重合),线段PQ与EF的长度相等,连接DP,CQ,四边形CDPQ的周长是否有最小值?若有,请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值;若没有,请说明理由.
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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
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如图(1),直线y=kx-k2(k为常数,且k>0)与y轴交于点C,与抛物线y=ax2有唯一公共点B,点B在x轴上的正投影为点E,已知点D(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在实数k,使经过D,O,E三点的圆与抛物线的交点恰好为B?若存在,请求出时k的值;若不存在,请说明理由.
(3)如图(2),连接CE,已知点F(0,1),直线FA与CE相交于点M,不论k取何值,在①∠EAM=∠ECA,②∠EAM=∠ACF两个等式中有一个恒成立.请判断哪一个恒成立,并证明这个成立的结论.
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如图1所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=-
1
2
时,y取最大值
25
4

(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)设点P是直线AC上一点,且S△ABP:S△BPC=1:3,求点P的坐标;
(3)直线y=
1
2
x+a与(1)中所求的抛物线交于点M、N,两点,问:
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
②猜想当∠MON>90°时,a的取值范围.(不写过程,直接写结论)
(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M、N两点之间的距离为|MN|=


(x2-x1)2+(y2-y1)2

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如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
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