在平面直角坐标系xOy中:已知抛物线y=-12x2+(m2-m-52)x+13(5m+8)的对称轴为x=-12,设抛物线与y轴交于A点,与x轴交于B、C两点(B

在平面直角坐标系xOy中:已知抛物线y=-12x2+(m2-m-52)x+13(5m+8)的对称轴为x=-12,设抛物线与y轴交于A点,与x轴交于B、C两点(B

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中:已知抛物线y=-
1
2
x2+(m2-m-
5
2
)x+
1
3
(5m+8)
的对称轴为x=-
1
2
,设抛物线与y轴交于A点,与x轴交于B、C两点(B点在C点的左边),锐角△ABC的高BE交AO于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线上是否存在点P,使BP将△ABH的面积分成1:3两部分?如果存在,求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意:x=-
m2-m-
5
2
-
1
2
×2
=-
1
2

化简,得:m2-m-2=0
解得:m1=-1,m2=2;
当m=-1时,函数解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+1(如右图),其中△ABC不符合锐角三角形的特点,故m=-1舍去;
当m=2时,函数解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+6;
综上,抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+6.

(2)由(1)知:抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+6(如右图);
令x=0,则y=6,即 A(0,6);
令y=0,-
1
2
x2-
1
2
x+6=0,解得:x1=3,x2=-4;即 B(-4,0)、C(3,0);
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO,又∠AEH=∠BOH=90°,
∴Rt△BOHRt△AOC,
BO
AO
=
OH
OC
,即
4
6
=
OH
3
,OH=2,AH=4;
在线段AH上取AM=HN=
1
4
AH=1,则 M(0,5)、N(0,3);
设直线BM的解析式为:y=kx+5,则有:-4k+5=0,k=
5
4

∴直线BM:y=
5
4
x+5.
同理,直线BN:y=
3
4
x+3.
联立直线BM和抛物线y=-
1
2
x2-
1
2
x+6,有:





y=
5
4
x+5
y=-
1
2
x2-
1
2
x+6

解得:





x1=-4
y1=0





x2=
1
2
y2=
45
8

∴P1
1
2
45
8
);
同理,求直线BN与抛物线的交点P2
3
2
33
8
);
综上,存在符合条件的P点,且坐标为:P1
1
2
45
8
)、P2
3
2
33
8
).
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=
1
4
x2
+1,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.
(1)写出点M的坐标;
(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.
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用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为12米,这个矩形的长宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
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某校八年级(1)班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其它费用780元,其中,纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若该班每年需要纯净水380桶,且a为120时,请你根据提供的信息分析一下:该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料,哪一种花钱更少?
(3)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算从计算结果看,你有何感想?(不超过30字)
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如图矩形OABC,AB=2OA=2n,分别以OA和OC为x、y轴建立平面直角坐标系,连接OB,沿OB折叠,使点A落在P处.过P作PQ⊥y轴于Q.
(1)求OD:OA的值;
(2)以B为顶点的抛物线:y=ax2+bx+c,经过点D,与直线OB相交于E,过E作EF⊥y轴于F,试判断2•PQ•EF与矩形OABC面积的关系,并说明理由.
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已知抛物线m:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在左),与y轴交于点C,顶点为M,抛物线上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表:
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