已知:如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中AD∥BC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,点M从点B开始,以每秒1个单位的速度向点C运动;点N从点D开始,沿D→

已知:如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中AD∥BC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,点M从点B开始,以每秒1个单位的速度向点C运动;点N从点D开始,沿D→

题型:不详难度:来源:
已知:如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中ADBC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,点M从点B开始,以每秒1个单位的速度向点C运动;点N从点D开始,沿D→A→B方向,以每秒1个单位的速度向点B运动.若点M、N同时开始运动,其中一点到达终点,另一点也停止运动,运动时间为t(t>0).过点N作NP⊥BC与P,交BD于点Q.
(1)点D到BC的距离为______;
(2)求出t为何值时,QMAB;
(3)设△BMQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(4)求出t为何值时,△BMQ为直角三角形.
答案
(1)


3


(2)过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,则四边形AEFD是矩形.
BE=CF=
BC-AD
2
=1.
直角三角形CFD中,CF=1,CD=2,cos∠C=
1
2

∴∠C=60°,DF=


3

∴∠ABE=∠C=60°
∵QMAB
∴∠QMP=60°
∵BM=t,PF=ND=t,FC=1,BC=4
∴PM=3-2t,BP=3-t.
直角三角形QPM中,∠QMP=60°,PM=3-2t,QP=


3
(3-2t).
∵QP⊥BC,DF⊥BC
∴QPDF,
∴△BQP△BDF,
BP
BF
=
QP
DF
,即
3-t
3
=


3
(3-2t)


3

∴5t=6,即t=1.2(s)
当t=1.2s时,QMAB

(3)当0<t≤2时,三角形BDF中,BF=3,DF=


3

∴BD=2


3

三角形BCD中,CD=2,BD=2


3
,BC=4,
因此BD2+CD2=BC2
即三角形BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,∠DBC=30°.
直角三角形BQP中,BP=3-t,∠DBC=30°,
∴PQ=


3
3
(3-t)
因此:S=
1
2
×t×


3
3
(3-t)=-


3
6
t2+


3
2
t
当2<t<4时,直角三角形NBP中,∠ABC=60°,BN=4-t,
∴BP=
4-t
2

在直角三角形BPQ中,∠DBC=30°,BP=
4-t
2

∴QP=


3
(4-t)
6

因此:S=
1
2
×t×


3
(4-t)
6
=-


3
12
t2+


3
3
t

(4)当0<t≤2时,即N在AD上时,分两种情况进行讨论:
①当∠BMQ=90°,即M与P点重合,那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得:t=1.5s.
②当∠BQM=90°,在直角三角形NQD中,ND=t,∠ADB=∠DBC=30°,
∴NQ=


3
3
t.
∵NP=


3

∴QP=


3
-


3
3
t
在直角三角形BQM中,∠DBC=30°,BM=t
∴QM=
1
2
t
在直角三角形QPM中,∠QMP=60°,QM=
1
2
t
∴QP=


3
4
t


3
-


3
3
t=


3
4
t.
解得t=
12
7
s.
当2<t<4时,∠BQM=90°
直角三角形BNP中,BN=4-t,∠ABC=60°,
∴BP=
4-t
2

∴PM=BM-BP=t-
4-t
2
=
3t-4
2

在直角三角形BPQ中,∠DBC=30°,BP=
4-t
2

∴PQ=


3
(4-t)
6

直角三角形QPM中,∠QMP=60°,PM=
3t-4
2

∴PQ=


3
(3t-4)
2

因此


3
(4-t)
6
=


3
(3t-4)
2

解得t=1.6s,与此时t的取值范围不符,
因此这种情况不成立.
综上所述,当t=1.5s或
12
7
s,△BMQ是直角三角形.
举一反三
如图,直角梯形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(
1
2
,0)、(2,0)和(2,3),ABCD,∠C=90°,CD=CB.
(1)求点D的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c过原点O与点(7,1),且对称轴为过点(4,3)与y轴平行的直线,求抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得PA+PB+PC+PD最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,一小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1m,球路的最高点B(8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m).
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已知,二次函数y=mx2+3(m-
1
4
)x+4(m<0)与x轴交于A、B两点,(A在B的左边),与y轴交于点C,且∠ACB=90度.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)矩形DEFG的一条边DG在AB上,E、F分别在BC、AC上,设OD=x,矩形DEFG的面积为S,求S关于x的函数解析式;
(3)将(1)中所得抛物线向左平移2个单位后,与x轴交于A′、B′两点(A′在B′的左边),矩形D′E′F′G′的一条边D′G′在A′B′上(G′在D′的左边),E′、F′分别在抛物线上,矩形D′E′F′G′的周长是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
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在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm2,那么y关于x的函数是(  )
A.y=(60+2x)(40+2x)B.y=(60+x)(40+x)
C.y=(60+2x)(40+x)D.y=(60+x)(40+2x)

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抛物线y=mx2+(m-3)x-3(m>0)与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=OC.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点P(x1,b)与点Q(x2,b)在(1)中的抛物线上,且x1<x2,PQ=n.
①求4x12-2x2n+6n+3的值;
②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是______.
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