(1)设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c; ∵抛物线过点C(0,-12), ∴c=-12;(1分) 又∵它过点A(12,0)和点B(-4,0), ∴, 解得; ∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-12,(3分) 抛物线的对称轴为x=4.(5分)
(2)解法一: ∵在y=kx-4中,当x=0时,y=-4, ∴y=kx-4与y轴的交点N(0,-4);(6分) ∵y=x2-2x-12=(x-4)2-16, ∴顶点M(4,-16);(7分) ∵AM2=(12-4)2+162=320, AN2=122+42=160, MN2=42+(16-4)2=160, ∴AN2+MN2=160+160=320=AM2, AN=MN;(9分) ∴△AMN是等腰直角三角形.(10分) 解法二: 过点M作MF⊥y轴于点F,则有 MF=4,NF=16-4=12,OA=12,ON=4;(6分) ∴MF=ON,NF=OA,(7分) 又∵∠AON=∠MFN=90°, ∴△AON≌△NFM;(8分) ∴∠MNF=∠NAO,AN=MN;(9分) ∵∠NAO+∠ANO=90°,即∠MNF+∠ANO=90°, ∴∠MNA=90; ∴△AMN是等腰直角三角形.(10分)
(3)存在,点P的坐标分别为: (4,-16),(4,-8),(4,-3),(4,6)(14分) 参考解答如下: ∵y=kx-4过点A(12,0), ∴k=; 直线l与y=x-4平行, 设直线l的解析式为y=x+b; 则它与x轴的交点D(-3b,0),与y轴交点E(0,b); ∴OD=3OE; 设对称轴与x轴的交点为K; (Ⅰ)以点E为直角顶点如图; ①根据题意,点M(4,-16)符合要求; ②过P作PQ⊥y轴, 当△PDE为等腰直角三角形时, 有Rt△ODE≌Rt△QEP, ∴OE=PQ=4,QE=OD; ∵在Rt△ODE中,OD=3OE, ∴OD=12,QE=12, ∴OQ=8, ∴点P的坐标为(4,-8); (Ⅱ)以点D为直角顶点; 同理在图①中得到P(4,6), 在图②中可得P(4,-3); 综上所得:满足条件的P的坐标为: (4,-16),(4,-8),(4,-3),(4,6).
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