如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图所示).将纸
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如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图所示).将纸
题型:不详
难度:
来源:
如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC
1
D
1
和△BC
2
D
2
两个三角形(如图所示).将纸片△AC
1
D
1
沿直线D
2
B(AB)方向平移(点A,D
1
,D
2
,B始终在同一直线上),当点D
1
于点B重合时,停止平移.在平移过程中,C
1
D
1
与BC
2
交于点E,AC
1
与C
2
D
2
、BC
2
分别交于点F、P.
(1)当△AC
1
D
1
平移到如图3所示的位置时,猜想图中的D
1
E与D
2
F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)设平移距离D
2
D
1
为x,△AC
1
D
1
与△BC
2
D
2
重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值使得y=
1
4
S
△ABC
;若不存在,请说明理由.
答案
(1)D
1
E=D
2
F.
∵C
1
D
1
∥
C
2
D
2
,
∴∠C
1
=∠AFD
2
.
又∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,
∴DC=DA=DB,即C
1
D
1
=C
2
D
2
=BD
2
=AD
1
∴∠C
1
=∠A,
∴∠AFD
2
=∠A
∴AD
2
=D
2
F.
同理:BD
1
=D
1
E.
又∵AD
1
=BD
2
,
∴AD
2
=BD
1
.
∴D
1
E=D
2
F.
(2)∵在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
∴由勾股定理,得AB=10.
即AD
1
=BD
2
=C
1
D
1
=C
2
D
2
=5
又∵D
2
D
1
=x,
∴D
1
E=BD
1
=D
2
F=AD
2
=5-x.
∴C
2
F=C
1
E=x
在△BC
2
D
2
中,C
2
到BD
2
的距离就是△ABC的AB边上的高,为
24
5
.
设△BED
1
的BD
1
边上的高为h,
由探究,得△BC
2
D
2
∽
△BED
1
,
∴
h
24
5
=
5-x
5
.
∴h=
24(5-x)
25
.S
△BED1
=
1
2
×BD
1
×h=
12
25
(5-x)
2
又∵∠C
1
+∠C
2
=90°,
∴∠FPC
2
=90度.
又∵∠C
2
=∠B,sinB=
4
5
,cosB=
3
5
.
∴PC
2
=
3
5
x,PF=
4
5
x,S
△FC2P
=
1
2
PC
2
×PF=
6
25
x
2
而y=S
△BC2D2
-S
△BED1
-S
△FC2P
=
1
2
S
△ABC
-
12
25
(5-x)
2
-
6
25
x
2
∴y=-
18
25
x
2
+
24
5
x(0≤x≤5).
(3)存在.
当y=
1
4
S
△ABC
时,即-
18
25
x
2
+
24
5
x=6,
整理得3x
2
-20x+25=0.
解得,x
1
=
5
3
,x
2
=5.
即当x=
5
3
或x=5时,重叠部分的面积等于原△ABC面积的
1
4
.
举一反三
如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于
M,交DC于N.
(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;
(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(0,1),C(2,
9
5
).
(Ⅰ)直线l:y=kx+b过A、B两点,求k、b的值;
(Ⅱ)求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式;
(Ⅲ)设(Ⅱ)中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E,那么在对称轴上是否存在点F,使⊙F与直线l和x轴同时相切?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知直线y=
1
3
x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.
(1)点C的坐标是______线段AD的长等于______;
(2)点M在CD上,且CM=OM,抛物线y=x
2
+bx+c经过点C,M,求抛物线的解析式;
(3)如果点E在y轴上,且位于点C的下方,点F在直线AC上,那么在(2)中的抛物线上是否存在点P,使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长l;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x
2
-bx+c(b>0)的图象经过点A(-1,b),与y轴相交于点B,且∠ABO的余切值为3.
(1)求点B的坐标;
(2)求这个函数的解析式;
(3)如果这个函数图象的顶点为C,求证:∠ACB=∠ABO.
题型:不详
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|
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如图,点A在抛物线y=
1
4
x
2
上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B,延长AO,BO分别与
抛物线y=-
1
8
x
2
相交于点C,D,连接AD,BC,设点A的横坐标为m,且m>0.
(1)当m=1时,求点A,B,D的坐标;
(2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直;
(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论.
题型:不详
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|
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