在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0).(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;(2)如图,小敏发现所有过A,B

在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0).(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;(2)如图,小敏发现所有过A,B

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0).
(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;
(2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值;
(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CPx轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求此抛物线的解析式.
答案
(1)设过抛物线A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A(-1,0),B(3,0),点(0,-3)代入





a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=-3

解得





a=1
b=-2
c=-3

故此抛物线的解析式为y=x2-2x-3,顶点坐标为(1,-4);

(2)由题意,设y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),M(1,-4a),
∴S△ACB=
1
2
×4×|-3a|=6|a|,
而a>0,
∴S△ACB=6a.
作MD⊥x轴于D,
又S△ACM=S△ACO+SOCMD-S△AMD=
1
2
•1•3a+
1
2
(3a+4a)-
1
2
•2•4a=a,
∴S△ACM:S△ACB=1:6;

(3)①当抛物线开口向上时,
设y=a(x-1)2+k,
即y=ax2-2ax+a+k,
有菱形可知|a+k|=|k|,a+k>0,k<0,
∴k=-
a
2

∴y=ax2-2ax+
a
2

∴|EF|=


(x2+x1)2-4x1x2
=


2

记l与x轴交点为D,
若∠PEM=60°,则∠FEM=30°,MD=DE•tan30°=


6
6

∴k=-


6
6
,a=


6
3

∴抛物线的解析式为y=
1
3


6
x2-
2
3


6
x+


6
6

若∠PEM=120°,则∠FEM=60°,MD=DE•tan60°=


6
2

∴k=-


6
2
,a=


6

∴抛物线的解析式为y=


6
x2-2


6
x+


6
2

②当抛物线开口向下时,同理可得y=-
1
3


6
x2+
2
3


6
x-


6
6

y=-


6
x2+2


6
x-


6
2
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,A、B在x轴上,A(-1,0),C(0,-2),B在x轴正半轴上,求经过A、B、C三点的抛物线,并求此抛物线的顶点坐标.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=2


3
,直线y=


3
x-2


3
经过点C,交y轴于点G.
(1)点C、D的坐标;
(2)求顶点在直线y=


3
x-2


3
上且经过点C、D的抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿直线y=


3
x-2


3
平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E.平移后是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请明理由.
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如图,正方形ABCD的边长为4,点P是AB上不与A、B重合的任意一点,作PQ⊥DP,Q在BC上,设AP=x,BQ=y,
(1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)求函数图象的顶点坐标,并作出大致图象.
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如图,一次函数y=kx+n的图象与x轴和y轴分别交于点A(6,0)和B(0,2


3
),线段AB的垂直平分线交x轴于点C,交AB于点D.
(1)试确定这个一次函数关系式;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式.
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在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到A、C两点间的距离之和最小.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径作圆恰好与x轴相切,求此圆的直径.
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