已知:a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边(a>b).二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象的顶点在x轴上,且sinA、sinB是关
题型:不详难度:来源:
已知:a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边(a>b).二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象的顶点在x轴上,且sinA、sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根. (1)判断△ABC的形状,关说明理由; (2)求m的值; (3)若这个三角形的外接圆面积为25π,求△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长. |
答案
(1)△ABC是直角三角形,理由如下: 将y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2化简,整理得:y=x2-2(a+b)x+2ab+c2, ∵此函数图象的顶点在x轴上, ∴=0, 整理,得a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形;
(2)∵△ABC是直角三角形,∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∴sinB=cosA, ∴sinA、cosA是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根, ∴, 又∵sin2A+cos2A=1, ∴(sinA+cosA)2-2sinA•cosA=1, ∴()2-2×=1, 整理,得m2-24m+80=0, 解得m1=20,m2=4. 经检验,m1=20,m2=4都是原方程的根, 但是,当m1=20时,sinA+cosA>0,sinA•cosA>0, 当m2=4时,sinA+cosA>0,sinA•cosA<0,舍去, ∴m=20;
(3)∵△ABC的外接圆面积为25π, ∴外接圆半径R=5, ∴斜边c=10. 当m=20时,原方程变为25x2-35x+12=0, 解得x1=,x2=, ∴a=8,b=6. 设正方形的边长为x. 图1中,由EF:BC=AF:AC,得x:8=(6-x):6, 解得x=; 图2中,CH=, CK:CH=DG:AB,(-x):=x:10, 解得x=. 综上可知,△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长为或. |
举一反三
已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中x1<x2. (1)求m的取值范围; (2)若x12+x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线; (3)设这条抛物线的顶点为C,延长CA交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. |
在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0). (1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标; (2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值; (3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP∥x轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求此抛物线的解析式. |
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,A、B在x轴上,A(-1,0),C(0,-2),B在x轴正半轴上,求经过A、B、C三点的抛物线,并求此抛物线的顶点坐标.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=2,直线y=x-2经过点C,交y轴于点G. (1)点C、D的坐标; (2)求顶点在直线y=x-2上且经过点C、D的抛物线的解析式; (3)将(2)中的抛物线沿直线y=x-2平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E.平移后是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请明理由.
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如图,正方形ABCD的边长为4,点P是AB上不与A、B重合的任意一点,作PQ⊥DP,Q在BC上,设AP=x,BQ=y, (1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围; (2)求函数图象的顶点坐标,并作出大致图象.
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