如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动,同时动
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如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动,同时动
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如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;
(2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;
(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时,OP与PQ能否相等?若
能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.
答案
(1)Q(1,0)(1分)Q的图象是一条直线,且过点(11,0).
且点P运动速度每秒钟1个单位长度.(2分)
(2)过点B作BF⊥y轴于点F,BE⊥x轴于点E,则BF=8,OF=BE=4.
∴AF=10-4=6.
在Rt△AFB中,AB=
8
2
+
6
2
=10,(3分)
过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H.
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴△ABF≌△BCH.
∴BH=AF=6 CH=BF=8.
∴OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.
∴所求C点的坐标为(14,12).(4分)
(3)过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N,
则△APM
∽
△ABF.
∴
AP
AB
=
AM
AF
=
MP
BF
,
∴
t
10
=
AM
6
=
MP
8
.
∴AM=
3
5
t,PM=
4
5
t,
∴PN=OM=10-
3
5
t,ON=PM=
4
5
t.
设△OPQ的面积为S(平方单位),
∴S=
1
2
×(10-
3
5
t)(1+t)=5+
47
10
t-
3
10
t
2
(0≤t≤10),(5分)
说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∵a=-
3
10
<0
,
∴当t=-
47
10
2×(-
3
10
)
=
47
6
时,△OPQ的面积最大.(6分)
此时P的坐标为(
94
15
,
53
10
).(7分)
(4)OP与PQ相等,组成等腰三角形,即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时,
当P在BC上时,8+
3
5
(t-10)=
1
2
(t+1),解得:t=-15(舍去)
当P在CD上时,14-
4
5
(t-20)=
1
2
(t+1),解得:t=
295
13
,
即当t=
295
13
时,OP与PQ相等.
当P在BA上时,t=
5
3
,OP与PQ相等,(9分)
∴当t=
295
13
或t=
5
3
时,OP与PQ相等.
举一反三
已知:a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边(a>b).二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c
2
的图象的顶点在x轴上,且sinA、sinB是关于x的方程(m+5)x
2
-(2m-5)x+m-8=0的两个根.
(1)判断△ABC的形状,关说明理由;
(2)求m的值;
(3)若这个三角形的外接圆面积为25π,求△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长.
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已知抛物线y=(1-m)x
2
+4x-3开口向下,与x轴交于A(x
1
,0)和B(x
2
,0)两点,其中x
1
<x
2
.
(1)求m的取值范围;
(2)若x
1
2
+x
2
2
=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)设这条抛物线的顶点为C,延长CA交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使以P、B、O为顶
点的三角形与△BCD相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0).
(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标;
(2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值;
(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP
∥
x轴
交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求此抛物线的解析式.
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,A、B在x轴上,A(-1,0),C(0,-2),B在x轴正半轴上,求经过A、B、C三点的抛物线,并求此抛物线的顶点坐标.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=
2
3
,直线y=
3
x-2
3
经过点C,交y轴于点G.
(1)点C、D的坐标;
(2)求顶点在直线y=
3
x-2
3
上且经过点C、D的抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿直线y=
3
x-2
3
平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E.平移后是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请明理由.
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