如图,正方形ABCD的边长是4,E是AB边上一点(E不与A、B重合),F是AD的延长线上一点,DF=2BE.四边形AEGF是句型,其面积y随BE的长x的变化而变
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如图,正方形ABCD的边长是4,E是AB边上一点(E不与A、B重合),F是AD的延长线上一点,DF=2BE.四边形AEGF是句型,其面积y随BE的长x的变化而变化且构成函数. (1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若上述(1)中是二次函数,请用配方法把它转化成y=a(x-h)2+k的形式,并指出当x取何值时,y取得最大(或最小)值,该值是多少? (3)直接写出抛物线与x轴交点坐标.
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答案
(1)∵正方形ABCD的边长是4,BE=x,DF=2BE, ∴AE=AB-BE=4-x,AF=AD+DF=4+2x, ∴y=(4-x)(4+2x)=-2x2+4x+16, ∵E不与A、B重合, ∴0<x<4, 故y=-2x2+4x+16(0<x<4);
(2)y=-2x2+4x+16=-2(x2-2x+1)+2+16=-2(x-1)2+18, ∴y=-2(x-1)2+18, ∵a=-2<0, ∴x=1时,y有最大值,最大值为18;
(3)令y=0,则-2x2+4x+16=0, 整理得,2x2-4x-16=0, 解得x1=-2,x2=4, ∴抛物线与x轴交点坐标为(-2,0),(4,0). |
举一反三
如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒. (1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标; (3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时,OP与PQ能否相等?若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由. |
已知:a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边(a>b).二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象的顶点在x轴上,且sinA、sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根. (1)判断△ABC的形状,关说明理由; (2)求m的值; (3)若这个三角形的外接圆面积为25π,求△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长. |
已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中x1<x2. (1)求m的取值范围; (2)若x12+x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线; (3)设这条抛物线的顶点为C,延长CA交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. |
在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0). (1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标; (2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值; (3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP∥x轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形,求此抛物线的解析式. |
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,A、B在x轴上,A(-1,0),C(0,-2),B在x轴正半轴上,求经过A、B、C三点的抛物线,并求此抛物线的顶点坐标.
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