在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N+，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明a4，s5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{an}

题型：不详难度：来源：

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N⁺，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k．
（Ⅰ）证明a₄，s₅，a₆成等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

答案

（I）由题设可知，a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a₄=a₃+4=8，a₅=a₄+4=12，a₆=a₅+6=18
从而

a6

a5

=

a5

a4

=

3

2

，所以a₄，s₅，a₆成等比数列；
（II）由题设可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*，所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）
=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），由a₁=0，得 a_2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1-2k=2k2
所以数列{a_n}的通项公式为an=

n2-1 2 ，n为奇数 n2 2 ，   n为偶数

．