如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是455，过A（0，4）作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，-12

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是

4

5

5

，过A（0，4）作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（3，-

1

2

），且抛物线过A、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-3）²-

1

2

，
已知抛物线过A点，则有：
a（0-3）²-

1

2

=4，
解得a=

1

2

此抛物线的解析式为：y=

1

2

（x-3）²-

1

2

（2）∵B（2，0）；C（3，-

1

2

）；D（3，0）
∴BD=1，CD=

1

2

，OB=2
∵要使△BCD∽△OPB
∴只需

BD

OB

=

CD

OP

或

BD

OP

=

CD

OB

即：

1

2

=

1 2

OP

或

1

OP

=

1 2

2

解得：OP=

1

4

或4
∴P（0，-

1

4

）或（0，-4）．
故：在y轴的负半轴上是否存在点P（0，-

1

4

）或（0，-4），使△BCD∽△OPB．