(1)如图①,过E作EF⊥y轴于F,则∠EFD=∠DOB=90°. ∵以D(0,1)为旋转中心,将DB逆时针旋转90°,得到线段DE, ∴∠BDE=90°,DE=DB, ∴∠1+∠2=90°, ∵∠1+∠3=90°, ∴∠2=∠3, ∴△DEF≌△BDO(AAS), ∴EF=DO=1,FD=OB=3, ∴E(1,4). 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4, 把A(0,3)代入上式,得 3=a(0-1)2+4,解得a=-1, ∴y=-(x-1)2+4. 当x=3时,y=-(3-1)2+4=0, ∴点B(3,0)在抛物线上;
(2)直线AE与圆相切.理由如下: 如图②,连接AB,则AB为圆的直径, 在正方形AOBC中,∠OAB=45°, 由(1)知,EF=1,FA=OF-OA=4-3=1, ∴在Rt△EFA中,∠FAE=45°, ∴∠EAB=180°-∠OAB-∠FAE=90°, ∴直径AB⊥AE, ∴直线AE与圆相切;
(3)①当OB为边时,如图③,
∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形, ∴PQ∥OB,且PQ=OB=3. ∵点Q在对称轴x=1上, ∴点P的横坐标为-2或4.
当x=-2时,y=-(-2-1)2+4=-5; 当x=4时,y=-(4-1)2+4=-5.
即符合条件的点P有两个,P1(-2,-5),P2(4,-5); ②当OB为对角线时,如图④, ∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,
∴PQ与OB互相平分. 又点Q在对称轴x=1上,且线段OB的中点横坐标为,
∴点P的横坐标为2,
当x=2时,y=-(2-1)2+4=3, 即符合条件的点P只有一个,即P3(2,3), 综上所述,符合条件的点P共有三个,即P1(-2,-5),P2(4,-5),P3(2,3). |