如图,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.(1)求⊙C的圆心坐标;(2)过C

如图,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.(1)求⊙C的圆心坐标;(2)过C

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.
(1)求⊙C的圆心坐标;
(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式;
(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴过C点,顶点在⊙C上,与y轴交点为B,求抛物线的解析式.
答案
(1)∵OA⊥OB,OA:OB=4:3,⊙D的半径为2
∴⊙C过原点,OC=4,AB=8
A点坐标为(
32
5
,0)B点坐标为(0,
24
5

∴⊙C的圆心C的坐标为(
16
5
12
5
)(3分)

(2)由EF是⊙D的切线,
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO,∠COB=∠CBO
∴Rt△AOBRt△OCERt△FCO
OE
AB
=
OC
OA
OF
AB
=
OC
OB

∴OE=5,OF=
20
3

∴E点坐标为(5,0),F点坐标(0,
20
3

∴切线EF的解析式为y=-
4
3
x+
20
3
;(7分)

(3)①当抛物线开口向下时,由题意,得
抛物线顶点坐标为(
16
5
12
5
+4),
可得:-
b
2a
=
16
5
4ac-b2
4a
=
32
5
,c=
24
5

∴a=-
5
32
,b=1,c=
24
5

∴y=-
5
32
x2+x+
24
5
;(10分)
②当抛物线开口向上时,
顶点坐标为(
16
5
12
5
-4),
可得:-
b
2a
=
16
5
4ac-b2
4a
=-
8
5
,c=
24
5

∴y=
5
8
x2-4x+
24
5

综上所述,抛物线解析式为:
y=-
5
32
x2+x+
24
5
或y=
5
8
x2-4x+
24
5
.(12分)
注:其他解法参照以上评分标准评分
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
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向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?(  )
A.第11秒B.第10秒C.第9秒D.第8秒
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如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为(  )
A.h=-
3
16
t2
B.y=-
3
16
t2+t
C.h=-
1
8
t2+t+1
D.h=-
1
3
t2+2t+1

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已知如图,过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m,0)、交y轴的负半轴于点D,弧OBM与弧OAM关于x轴对称,其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点.
(1)当m=4时,
①填空:B的坐标为______,C的坐标为______,D的坐标为______;
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E,求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标;
③除D点外,直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由.
(2)是否存在实数m,使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
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如图,已知直线y=x与抛物线y=
1
2
x2
交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=
1
2
x2
的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.
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