如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).(1)当α=

如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).(1)当α=

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如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是______;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图2).请探究:经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.
答案
(1)∵图形旋转后BC=CD,∠BCD=∠α=60°
∴△BCD是等边三角形;

(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,
依题意可得:AB=OC=6,BC=OA=4,
在Rt△BHC中,HC2=BC2+HB2
即x2-(6-x)2=16,
解得x=
13
3

∴H(
13
3
,4).
设y=kx+b,把H(
13
3
,4),C(6,0)代入y=kx+b,





13
3
k+b=4
6k+b=0

解得





k=-
12
5
b=
72
5

∴y=-
12
5
x+
72
5


(3)抛物线顶点为B(6,4),
设y=a(x-6)2+4,
把D(10,0)代入得:a=-
1
4

∴y=-
1
4
(x-6)2+4(或y=-
1
4
x2+3x-5).
依题可得,点M坐标为(8,3),
把x=8代入y=-
1
4
(x-6)2+4,得y=3.
∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M.
举一反三
如图1,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DEBC,交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6),以DE为折线将△ADE翻折,所得的△A"DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A"落在AH所在的直线上).
(1)分别求出当0<x≤3与3<x<6时,y与x的函数关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?
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如图,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.
(1)求⊙C的圆心坐标;
(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式;
(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴过C点,顶点在⊙C上,与y轴交点为B,求抛物线的解析式.
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如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
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向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?(  )
A.第11秒B.第10秒C.第9秒D.第8秒
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如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为(  )
A.h=-
3
16
t2
B.y=-
3
16
t2+t
C.h=-
1
8
t2+t+1
D.h=-
1
3
t2+2t+1

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