如图1所示,已知二次函数y=ax2-6ax+c与x轴分别交于点A(2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,-8t)(t>0).(1)求a、c的值及抛物线顶点

如图1所示,已知二次函数y=ax2-6ax+c与x轴分别交于点A(2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,-8t)(t>0).(1)求a、c的值及抛物线顶点

题型:不详难度:来源:
如图1所示,已知二次函数y=ax2-6ax+c与x轴分别交于点A(2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,-8t)(t>0).
(1)求a、c的值及抛物线顶点D的坐标(用含t的代数式表示);
(2)如图1,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数t的值;
(3)如图2,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,-4)、(4,-3),边HG位于边EF的右侧.若点P是边EF或边FG上的任意一点(不与E、F、G重合),请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形;
(4)将(3)中的正方形EFGH水平移动,若点P是正方形边FG或EH上任意一点,在水平移动过程中,是否存在点P,使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形,其中PA、PB为对边.若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)把点A、C的坐标(2,0)、(0,-8t)代入抛物线y=ax2-6ax+c得,





4a-12a+c=0
c=-8t
,解得





a=-t
c=-8t

该抛物线为y=-tx2+6tx-8t=-t(x-3)2+t.
∴顶点D坐标为(3,t)
(2)如图1,设抛物线对称轴与x轴交点为M,则AM=1.
由题意得:O′A=OA=2.
∴O′A=2AM,∴∠O′AM=60°.
∴∠O′AC=∠OAC=60°
∴在Rt△OAC中:
∴OC=


3
•AO=2


3

-8t=-2


3

t=


3
4

(3)①如图2所示,设点P是边EF上的任意一点
(不与点E、F重合),连接PM.
∵点E(4,-4)、F(4,-3)与点B(4,0)在一直线上,
点C在y轴上,
∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB.
又PD>PM>PB,PA>PM>PB,
∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD.
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
②设P是边FG上的任意一点(不与点F、G重合),
∵点F的坐标是(4,-3),点G的坐标是(5,-3).
∴FB=3,GB=


10
,∴3≤PB≤


10

∵PC>4,∴PC>PB.
∴PB≠PA,PB≠PC.
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
(4)t=


2
7
1
7
或1.
∵已知PA、PB为平行四边形对边,
∴必有PA=PB.
①假设点P为FG与对称轴交点时,存在一个正数t,使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形.
如图3所示,只有当PC=PD时,线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形.
∵点C的坐标是(0,-8t),点D的坐标是(3,t),
又点P的坐标是(3,-3),
∴PC2=32+(-3+8t)2,PD2=(3+t)2
当PC=PD时,有PC2=PD2
即32+(-3+8t)2=(3+t)2
整理得7t2-6t+1=0,
∴解方程得t=


2
7
>0满足题意.
②假设当点P为EH与对称轴交点时,存在一个正数t,使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形.
如图4所示,只有当PC=PD时,线段PA、PB、PC、PD
能构成一个平行四边形.
∵点C的坐标是(0,-8t),点D的坐标是(3,t),
点P的坐标是(3,-4),
∴PC2=32+(-4+8t)2,PD2=(4+t)2
当PC=PD时,有PC2=PD2
即32+(-4+8t)2=(4+t)2
整理得7t2-8t+1=0,
∴解方程得t=
1
7
或1均大于>0满足题意.
综上所述,满足题意的t=


2
7
1
7
或1.
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,


3
),△AOB的面积是


3

(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)
(1)求此抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为D,连接CD、BD,求△BCD的面积.
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如图长为2的线段PQ在x的正半轴上,从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x2交于点P′、Q′.
(1)已知P的坐标为(k,0),求直线OP′的函数解析式;
(2)若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分,求k的值.
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(五005•枣庄)已知抛物线y=(1-0)x+8x+b的图象的的部分八图所示,抛物的顶点在第的象限,且经过点0(0,-7)和点B.
(1)求0的取值范围;
(五)若O0=五OB,求抛物线的解析式.
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在直角坐标系中,抛物线y=
4
9
x2+
2
9
mx+
5
9
m+
4
3
与x轴交于A,B两点,已知点A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上,且BO=2AO,点C为抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式和经过B,C两点的直线的解析式;
(2)点P在此抛物线的对称轴上,且⊙P与x轴、直线BC都相切.求点P的坐标.
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