(I)∵y1=x2-x+1=(x-1)2+, ∴抛物线C1的顶点坐标为(1,);
(II)①证明:根据题意得:点A(0,1), ∵F(1,1), ∴AB∥x轴,得AF=BF=1, ∴+=2;
②+=2成立. 理由: 如图,过点P(xp,yp)作PM⊥AB于点M, 则FM=1-xp,PM=1-yp,(0<xp<1), ∴Rt△PMF中,由勾股定理, 得PF2=FM2+PM2=(1-xp)2+(1-yp)2, 又点P(xp,yp)在抛物线C1上, 得yp=(xp-1)2+,即(xp-1)2=2yp-1, ∴PF2=2yp-1+(1-yp)2=yp2, 即PF=yp, 过点Q(xQ,yQ)作QN⊥AB,与AB的延长线交于点N, 同理可得:QF=yQ, ∵∠PMF=∠QNF=90°,∠MFP=∠NFQ, ∴△PMF∽△QNF, ∴=, 这里PM=1-yp=1-PF,QN=yQ-1=QF-1, ∴=, 即+=2;
(III)令y3=x, 设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0,x0′,且x0<x0′, ∵抛物线C2可以看作是抛物线y=x2左右平移得到的, 观察图象,随着抛物线C2向右不断平移,x0,x0′的值不断增大, ∴当满足2<x≤m,y2≤x恒成立时,m的最大值在x0′处取得. 可得:当x0=2时,所对应的x0′即为m的最大值. 于是,将x0=2代入(x-h)2=x, 有(2-h)2=2, 解得:h=4或h=0(舍去), ∴y2=(x-4)2. 此时,由y2=y3,得(x-4)2=x, 解得:x0=2,x0′=8, ∴m的最大值为8. |