(1)∵以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点, ∴A(-2,0),B(8,0). 如解答图所示,连接CE. 在Rt△OCE中,OE=AE-OA=5-2=3,CE=5, 由勾股定理得:OC===4. ∴C(0,-4).
(2)∵点A(-2,0),B(8,0)在抛物线上, ∴可设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x-8). ∵点C(0,-4)在抛物线上, ∴-4=a×2×-8,解得a=. ∴抛物线的解析式为:y=(x+2)(x-8)=x2-x-4=(x-3)2- ∴顶点F的坐标为(3,-).
(3)①∵△ABC中,底边AB上的高OC=4, ∴若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4. (I)若yM=4,则x2-x-4=4, 整理得:x2-6x-32=0,解得x=3+或x=3-. ∴点M的坐标为(3+,4)或(3-,4); (II)若yM=-4,则x2-x-4=-4, 整理得:x2-6x=0,解得x=6或x=0(与点C重合,故舍去). ∴点M的坐标为(6,-4). 综上所述,满足条件的点M的坐标为:(3+,4),(3-,4)或(6,-4). ②直线MF与⊙E相切.理由如下: 由题意可知,M(6,-4). 如解答图所示,连接EM,MF,过点M作MG⊥对称轴EF于点G, 则MG=3,EG=4. 在Rt△MEG中,由勾股定理得:ME===5, ∴点M在⊙E上. 由(2)知,顶点F的坐标(3,-),∴EF=, ∴FG=EF-EG=. 在Rt△MGF中,由勾股定理得:MF===. 在△EFM中,∵EM2+MF2=52+()2=()2=EF2, ∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°. ∵点M在⊙E上,且∠EMF=90°, ∴直线MF与⊙E相切.
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