已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出

已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出

题型:不详难度:来源:
已知二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象;
(2)设D为线段OC上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?如果存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象过点A(-3,6),B(-1,0),





9
2
-3b+c=6
1
2
-b+c=0

解得





b=-1
c=-
3
2

∴这个二次函数的解析式为:
y=
1
2
x2-x-
3
2
.(4分)
由解析式可求P(1,-2),C(3,0),(5分)
画出二次函数的图象;(6分)

(2)解法一:
易证:∠ACB=∠PCD=45°,
又已知:∠DPC=∠BAC,
∴△DPC△BAC,(8分)
DC
BC
=
PC
AC

易求AC=6


2
,PC=2


2
,BC=4,
∴DC=
4
3

∴OD=3-
4
3
=
5
3

∴D(
5
3
,0).(10分)
解法二:过A作AE⊥x轴,垂足为E,
设抛物线的对称轴交x轴于F,
亦可证△AEB△PFD,(8分)
PE
PF
=
EB
FD

易求:AE=6,EB=2,PF=2,
∴FD=
2
3

∴OD=
2
3
+1=
5
3

∴D(
5
3
,0);(10分)

(3)存在.
①过M作MH⊥AC,MG⊥PC垂足分别为H、G,设AC交y轴于S,CP的延长线交y轴于T,
∵△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的内切圆圆心,
∴MG=MH=OM,(11分)
又∵MC=


2
OM且OM+MC=OC,


2
OM+OM=3,
得OM=3


2
-3,
∴M(3


2
-3,0)(12分)
②在x轴的负半轴上,存在一点M′,
同理OM′+OC=M′C,OM′+OC=


2
OM′
得OM′=3


2
+3
∴M′(-3


2
-3,0)
(14分)
即在x轴上存在满足条件的两个点.
举一反三
如图,在直角坐标系中,O为原点,抛物线y=x2+bx+3与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,tan∠ABO=
1
3
,顶点为P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C(-5,6),试求k的值及平移后抛物线的最小值;
(3)设平移后的抛物线与y轴相交于D,顶点为Q,点M是平移的抛物线上的一个动点.请探究:当点M在何位置时,△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标.友情提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
b
2a
,顶点坐标是(-
b
2a
4ac-b2
4a
)
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在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
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初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架,使长方形框架面积最大.
小组讨论后,同学们做了以下三种试验:

请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6米,当AB为1米,长方形框架ABCD的面积是______m2
(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6米,设AB为x米,长方形框架ABCD的面积为S=______(用含x的代数式表示);当AB=______时米,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为l米,设AB为x米,当AB是多少米时,长方形框架ABCD的面积S最大.
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已知抛物线y=(x-2)2的顶点为C,直线y=2x+4与抛物线交于A、B两点,试求S△ABC
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图1至图4的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O.
如图1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大(即点O不动,正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8;再经过一秒,由8×8扩大为10×10;…),直到充满正方形ABCD,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小.
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动(即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始,先向左平移,当点Q与点B重合时,再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动,设运动时间为x秒,它们的重叠部分面积为y个平方单位.
(1)当正方形MNPQ第一次回到起始位置时,正方形EFGH是否也变化到起始位置?
(2)请你在图2和图3中分别画出x为3秒、18秒时,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分(重叠部分用阴影表示),并分别写出重叠部分的面积;
(3)正方形EFGH第一次充满正方形ABCD之前(即x≤7时),何时正方形EFGH和正方形MNPQ重叠部分的面积为3平方单位.
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