已知二次函数y=ax2+bx+c，一次函数y=k（x-1）-k24，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为______．

题型：不详难度：来源：

已知二次函数y=ax²+bx+c，一次函数y=k（x-1）-

k2

4

，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为______．

答案

根据题意得，
y=ax²+bx+c①，
y=k（x-1）-

k2

4

②，
解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+c+k+

k2

4

=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两相等的值，
即△=（b-k）²-4a（c+k+

k2

4

）=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0，
由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
∴a=1，b=-2，c=1，
所以二次函数的解析式为y=x²-2x+1．
故答案为：y=x²-2x+1．