如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.。(1)求m的值及这个
题型:海南省月考题难度:来源:
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.。 (1)求m的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由。 |
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答案
解: (1) ∵点A(3,4)在直线y=x+m上, ∴4=3+m。 ∴m=1。 设所求二次函数的关系式为y=a(x﹣1)2。 点A(3,4)在二次函数y=a(x﹣1)2的图象上, ∴4=a(3﹣1)2, ∴a=1。 ∴所求二次函数的关系式为y=(x﹣1)2。 即y=x2﹣2x+1 (2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE。 ∴PE=h=yP﹣yE =(x+1)﹣(x2﹣2x+1) =﹣x2+3x。 即h=﹣x2+3x(0<x<3) (3)存在。 要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=DC。 ∵点D在直线y=x+1上, ∴点D的坐标为(1,2), ∴﹣x2+3x=2. 即x2﹣3x+2=0。 解之,得x1=2,x2=1(不合题意,舍去)。 ∴当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形。 |
举一反三
阅读材料:如下图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 解答下列问题:如下图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B。 (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB; (3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。 |
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣2,0)、(4,0)、(0,3)三点。 (1)求这条抛物线的解析式。 (2)怎样平移此抛物线,使该二次函数的图象与x轴只有一个交点? |
如图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少? |
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如图,用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? |
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已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格进行涨价销售,每涨价一元,每星期要少卖出10件.该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润? |
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