解:(1)依题意,得:, 解得; ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+1; (2)易知A(﹣1,0),C(0,1),则直线AC的解析式为:y=x+1; 由于AC∥BD,可设直线BD的解析式为y=x+h, 则有:1+h=0,h=﹣1; ∴直线BD的解析式为y=x﹣1; 联立抛物线的解析式得:, 解得,; ∴D(﹣2,﹣3); ∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=×2×1+×2×3=4; (3)∵OA=OB=OC=1, ∴△ABC是等腰Rt△; ∵AC∥BD, ∴∠CBD=90°; 易求得BC=,BD=3; ∴BC:BD=1:3; 由于∠CBD=∠MNA=90°, 若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似, 则有:△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC,得: =或=3; 即MN=AN或MN=3AN; 设M点的坐标为(x,﹣x2+1), ①当x>1时,AN=x﹣(﹣1)=x+1,MN=x2﹣1; ∴x2﹣1=(x+1)或x2﹣1=3(x+1) 解得x=,x=﹣1(舍去)或x=4,x=﹣1(舍去); ∴M点的坐标为:M(,﹣)或(4,﹣15); ②当x<﹣1时,AN=﹣1﹣x,MN=x2﹣1; ∴x2﹣1=(﹣x﹣1)或x2﹣1=3(﹣x﹣1) 解得x=,x=﹣1(两个都不合题意,舍去)或x=﹣2,x=﹣1(舍去); ∴M(﹣2,﹣3); 故存在符合条件的M点,且坐标为:M(,﹣)或(4,﹣15)或(﹣2,﹣3). |