某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx

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某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

答案

解：（1）根据题意得
解得k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．
（2）W=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x²+180x﹣7200=﹣（x﹣90）²+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）²+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由W≥500，得500≤﹣x²+180x﹣7200，
整理得，x²﹣180x+7700?0，
而方程x²﹣180x+7700=0的解为 x₁=70，x₂=110．
即x₁=70，x₂=110时利润为500元，
而函数y=﹣x²+180x﹣7200的开口向下，
所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，
所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．