已知抛物线y=ax2﹣2x+c与它的对称轴相交于点A(1,﹣4),与y轴交于C,与x轴正半轴交于B.(1)求这条抛物线的函数关系式;(2)设直线AC交x轴于D,

已知抛物线y=ax2﹣2x+c与它的对称轴相交于点A(1,﹣4),与y轴交于C,与x轴正半轴交于B.(1)求这条抛物线的函数关系式;(2)设直线AC交x轴于D,

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已知抛物线y=ax2﹣2x+c与它的对称轴相交于点A(1,﹣4),与y轴交于C,与x轴正半轴交于B.
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)设直线AC交x轴于D,P是线段AD上一动点(P点异于A,D),过P作PE∥x轴交直线AB于E,过E作EF⊥x轴于F,求当四边形OPEF的面积等于时点P的坐标.
答案
解:(1)由题意,知点A(1,﹣4)是抛物线的顶点,

∴a=1,c=﹣3,
∴抛物线的函数关系式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)由(1)知,点C的坐标是(0,﹣3).
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,

∴b=﹣3,k=﹣1,
∴y=﹣x﹣3.
由y=x2﹣2x﹣3=0,得x1=﹣1,x2=3
∴点B的坐标是(3,0).
设直线AB的函数关系式是y=mx+n,
 
∴m=2,n=﹣6.
∴直线AB的函数关系式是y=2x﹣6.
设P点坐标为(xP,yP),则yP=﹣xP﹣3.
∵PE∥x轴,
∴E点的纵坐标也是﹣xP﹣3.
设E点坐标为(xE,yE),
∵点E在直线AB上,
∴﹣xP﹣3=2xE﹣6,
∴xE=
∵EF⊥x轴,
∴F点的坐标为(,0),
∴PE=xE﹣xP=,OF=,EF=﹣(﹣xP﹣3)=xP+3,
∴S四边形OPEF=(PE+OF)·EF=+)·(xP+3)=
2xP2+3xP﹣2=0,
∴xP=﹣2,
当y=0时,x=﹣3,
而﹣3<﹣2<1,
∴P点坐标为和(﹣2,﹣1).
举一反三
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与y轴的交点为B,坐标原点为O,求△AOB内切圆的半径.
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用12m长的栅栏围成一个中间被隔断的鸭舍(栅栏占地面积忽略不计).
(1)如图1,当AB=(    )m,BC=(    )m时,所围成两间鸭舍的面积最大,最大值为(    )m2
(2)如图2,若现有一面长4m的墙可以利用,其余三方及隔断使用栅栏,所围成两间鸭舍面积和的最大值是多少.
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已知抛物线y=-x2+(m-2)x+3(m+1)交x轴于A(x1,0),B(x2,0),交y轴的正半轴于C点,且x1<x2,|x1|>|x2|,OA2+OB2=2OC+1。
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线,如果存在,求符合条件的直线的表达式;如果不存在,请说明理由。
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已知抛物线y=(1-m)x2+4x﹣3开口向下,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,其中x1<x2
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=10时,求抛物线的解析式.
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如图,抛物线的顶点坐标是,且经过点A(8,14).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与y轴相交于点B,与x轴相交于C、D两点(点C在点D的左边),试求点B、C、D的坐标;
(3)设点P是x轴上的任意一点,分别连接AC、BC,试判断:PA+PB与AC+BC的大小关系,并说明理由。
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