如图,抛物线y=-x2+x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C。(1)求证:△AOC∽△COB;(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,若点P在线段AB上
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如图,抛物线y=-x2+x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C。(1)求证:△AOC∽△COB;(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,若点P在线段AB上
题型:江苏中考真题
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来源:
如图,抛物线y=-
x
2
+
x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C。
(1)求证:△AOC∽△COB;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动,同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动,则经过几秒后,PQ=AC。
答案
解:(1)在抛物线y=
上,
令y=0时,即
=0,得x
1
=1,x
2
=4,
令x=0时,y=-2,
∴A(1,0),B(4,0),C(0,-2),
∴OA=1,OB=4,OC=2,
∴
,
∴
,
又∵∠AOC=∠BOC,
∴△AOC∽△COB;
(2)设经过t秒后,PQ=AC,
由题意得:AP=DQ= t,
∵A(1,0)、B(4,0),
∴AB=3,
∴BP=3-t,
∵CD∥x轴,点C(0,-2),
∴点D的纵坐标为-2,
∵点D在抛物线y=
上,
∴D(5,-2),
∴CD=5,
∴CQ=5-t,
①当AP=CQ,即四边形APQC是平行四边形时,
PQ=AC,
t=5-t
t=2.5,
② 连结BD,当DQ=BP,即四边形PBDQ是平行四边形时,
PQ=BD=AC,
t=3-t
t=1.5,
所以,经过2.5秒或 1.5秒时,PQ=AC。
举一反三
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题型:山东省中考真题
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如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是△EFG斜边上的中点.如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移,设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm
2
)(不考虑点P与G、F重合的情况)。
(1)当x为何值时,OP∥AC?
(2)求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由。
(参考数据:114
2
=12996,115
2
=13225,116
2
=13456 或4.4
2
=19.36,4.5
2
=20.25,4.6
2
=21.16)
题型:山东省中考真题
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已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB ,过B作BC⊥AB,交AE于点C。
(1)当B点的横坐标为时,求线段AC的长;
(2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合);
(3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M
1
(x
1
,y
1
)、M
2
(x
2
,y
2
),且x
1
2
+x
2
2
-6(x
1
+x
2
)=8,求直线l的解析式。
题型:江苏中考真题
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已知抛物线y=ax
2
+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax
2
的图象?
(3)设抛物线y=ax
2
上依次有点P
1
,P
2
,P
3
,P
4
,…,其中横坐标依次是2,4,6,8,…,纵坐标依次为n
1
,n
2
,n
3
,n
4
,…,试求n
3
-n
1003
的值。
题型:广西自治区中考真题
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如图,已知抛物线y=-x
2
+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x
1
,0),B(x
2
,0),且x
1
+x
2
=4,
。
(1)分别求出A,B两点的坐标;
(2)求此抛物线的函数解析式;
(3)设此抛物线与y轴的交点为C,过C作直线l与抛物线交于另一点D(点D在x轴上方),连接AC,CB,BD,DA,当四边形ACBD的面积为4时,求点D的坐标和直线l的函数解析式。
题型:广西自治区中考真题
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