在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B。（1）求直线CB

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B。
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上？
（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．

答案

解：（1）连接AC，则AC⊥BC，
∵OA=2，AC=4，
∴OC=，
又∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴，
∴OB=6，
∴点C坐标为（0，），点B坐标为（-6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，可求得直线BC的解析式为；
（2）由题意得，⊙A与x轴的交点分别为E（-2，0）、F（6，0），
抛物线的对称轴过点A为直线x=2，
∵抛物线的顶点在直线BC上，
∴抛物线顶点坐标为（2，），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+，
∵抛物线过点E（-2，0），
∴0=a（-2-2）₂+，解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）²+，
即；
（3）点C在抛物线上，因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，），如图；
（4）存在，这三点分别是E、C、F与E、C′、F，C′的坐标为（4，），即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如图。