在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(

在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(

题型:四川省中考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(-3,-12)。
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若直线l:y=kx(k≠0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小(不必证明),并写出此时点P的横坐标xp的取值范围。
答案
解:(1)二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(-3,-12),
∴由
解得
∴此二次函数的表达式为
(2)假设存在直线l:与线段BC交于点D(不与点B,C重合),使得以为顶点的三角形与相似,
中,令y=0,则由,解得

令x=0,得y=3,

设过点O的直线l交BC于点D,过点D作轴于点E,
∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),点A的坐标为(-1,0),


要使
已有,则只需,① 或② 成立,
若是①,则有

中,由勾股定理,得
解得(负值舍去),

∴点D的坐标为
将点D的坐标代入中,求得k=3,
∴满足条件的直线的函数表达式为y=3x,
[或求出直线AC的函数表达式为,则与直线AC平行的直线的函数表达式为y=3x,此时易知,再求出直线BC的函数表达式为,联立,求得点D的坐标为
若是②,则有

∴在中,由勾股定理,得
解得(负值舍去)

∴点D的坐标为(1,2),
将点D的坐标代入中,求得k=2,
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x,
∴存在直线l:y=3x或y=2x与线段BC交于点D(不与点B,C重合),使得以为顶点的三角形与相似,且点D的坐标分别为或(1,2);
(3)设过点C(0,3),E(1,0)的直线与该二次函数的图象交于点P,
将点E(1,0)的坐标代入中,求得k=-3,
∴此直线的函数表达式为
设点P的坐标为,并代入,得
解得(不合题意,舍去)

∴点P的坐标为(5,-12),此时,锐角
又∵二次函数的对称轴为x=1,
∴点C关于对称轴对称的点C′的坐标为(2,3),
∴当时,锐角
时,锐角
时,锐角。
举一反三
如图,矩形A′BC′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的,O′点在x轴的正半轴上,B点的坐标为(1,3)。

(1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O,O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1,求这个二次函数的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得△POM为直角三角形?若存在,请求出P点的坐标和△POM的面积;若不存在,请说明理由。
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已知反比例函数的图象经过点P(2,2),函数y=ax+b的图象与直线y=-x平行,并且经过反比例函数图象上一点Q(1,m)。
(1)求出点Q的坐标;
(2)函数y=ax2+bx+有最大值还是最小值?这个值是多少?
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如图,已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为,设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E。
(1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设∠DBC=a,∠CBE=b,求sin(a-b)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1),动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到C点停止,两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时,点Q正好到达点C,设P,Q同时从点B出发,经过的时间为t(s)时,△BPQ的面积为y(cm2)(如图2),分别以x,y为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图3中的线段MN。
(1)分别求出梯形中BA,AD的长度;
(2)写出图3中M,N两点的坐标;
(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。
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如图,在平而直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与y轴交于点C,且tan∠ACO=,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是(    )。

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