一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数

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一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问:是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)设抛物线的解析式为: y=a(x- m+)(x-m -2)=d(x- m)2-4a,
∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4
∴C(m,-2),代入得a=,∴解析式为:y=(x-m)2-2;
(2)∵m为小于0的常数,
∴只需将抛物线向右平移-m个单位长度,再向上平移2个单位长度,
可以使抛物线y=(x-m)2-2的顶点在坐标原点;
(3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形,
∵△BOD为直角三角形,
∴只能OD=OB,∴m2-2=|m+2|,
当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍);
当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍);
当m+2=0,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍)
综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形。
举一反三
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),与x轴的一个交点B的坐标为(2,0),点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<l),作PC⊥x 轴于C,PC交射线AB于点D。
(1)求抛物线的解析式;
(2)用含n的代数式表示CD、PD的长,并通过计算说明的大小关系;
(3)若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”,其他条件不变,请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立。 
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如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG垂直x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由。
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如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,已知AB=6, BC=2,∠DAB=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG(O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点) (如图所示);
(1)在直线DC上是否存在一点P,使△EFP为等腰三角形?若存在,写出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(2)将等腰梯形ABCD沿x轴的正半轴平行移动,设移动后OA′= x(O<x≤6),等腰梯形A′B′C′D′与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式。
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如图,二次函数y1=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C,C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数y2=mx+n的图象经过B、D两点。
(1)求二次函数的解析式及点D的坐标;
(2)根据图象写出y2>y1时,x的取值范围
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如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(0,2),点D在x轴的正半轴上,∠ODB=30°,OE为△BOD的中线,过B、E两点的抛物线y=ax2+x+c与x轴相交于A、F两点(A在F的左侧)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上,求AE及AM的长;
(3)点P为△ABO内的一个动点,设m=PA+PB+PO,请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时,线段AP的长。
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