证明:①连接OC、OC1,分别交PQ、NP于点D、E,根据题意得∠COC1=45°. ∵点O到AC和BC的距离都等于1, ∴OC是∠ACB的平分线. ∵∠ACB=90°∴∠OCE=∠OCQ=45° 同理∠OC1D=∠OC1N=45° ∴∠OEC=∠ODC1=90° ∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45° ∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形. ∴∠BNM=∠C1NP=45°∠A1QK=∠CQP=45°, ∵∠B=45°∠A1=45°, ∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形. ∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90° ∴∠B1=45°∠A=45° ∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形.
②在Rt△ODC1和Rt△OEC中, ∵OD=OE=1,∠COC1=45° ∴OC=OC1= ∴CD=C1E=-1 ∴PQ=NP=2(-1)=2-2,CQ=CP=C1P=C1N=(-1)=2- ∴S△CPQ=×(2-)2=3-2 延长CO交AB于H ∵CO平分∠ACB,且AC=BC ∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH=+1 ∴AC=BC=A1C1=B1C1=(+1)=2+, ∴S△ABC=×(2+)2=3+2, ∵A1Q=BN=(2+)-(2-2)-(2-)=2, ∴KQ=MN==, ∴S△BMN=×()2=1, ∵AK=(2+)-(2-)-=, ∴S△AKL=×()2=1,
| ∴S多边形KLMNPQ=S△ABC-S△CPQ-S△BMN-S△AKL | =(3+2)-(3-2)-1-1 | =4-2 |
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