对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1
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对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1
题型:浙江省竞赛题
难度:
来源:
对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:
第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A
1
、B
1
、C
1
,使得A
1
B=2AB,B
1
C=2BC,C
1
A=2CA,顺次连接A
1
、B
1
、C
1
,得到△A
1
B
1
C
1
,记其面积为S
1
;第二次操作,分别延长A
1
B
1
、B
1
C
1
、C
1
A
1
至点A
2
、B
2
、C
2
,使得A
2
B
1
=2A
1
B
1
,B
2
C
1
=2B
1
C
1
,C
2
A
1
=2C
1
A
1
,顺次连接A
2
、B
2
、C
2
,得到△A
2
B
2
C
2
,记其面积为S
2
;…;按此规律继续下去,可得到△A
n
B
n
C
n
.
(1)求面积S
1
;
(2)求面积S
n
.
答案
解:连BC
1
,∵C
1
A=2CA,
∴
=2S
△ABC
,
同理:
=2
=4
S△ABC
,
∴
=6S
△ABC
,
同理:
=6S
△ABC
,
∴
=19S
△ABC
,
即S
1
=19S
0
,
∵S
0
=S
△ABC
=1,
∴S
1
=19;
(2)同理,S
2
=19S
1
=19
2
S
0
,S
3
=19
3
S
0
,∴S
n
=19
n
S
0
=19
n
.
举一反三
点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S
四边形EADF
=S
1
,S
△BDF
=S2,S
△BCF
=S
3
,S
△CEF
=S
4
,则S
1
S
3
与S
2
S
4
的大小关系为( )
A.S
1
S
3
<S
2
S
4
B.S
1
S
3
=S
2
S
4
C.S
1
S
3
>S
2
S
4
D.不能确定
题型:竞赛题
难度:
|
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2
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