已知等边△ABC外有一点P,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,且h1-h2+h3=6,那么等边△ABC的面积为______.

已知等边△ABC外有一点P,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,且h1-h2+h3=6,那么等边△ABC的面积为______.

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已知等边△ABC外有一点P,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,且h1-h2+h3=6,那么等边△ABC的面积为______.
答案
设等边△ABC的边长为a,连接PA、PB、PC,
则S△PAB+S△PBC-S△PAC=S△ABC
从而
1
2
ah1-
1
2
ah2+
1
2
ah3=


3
4
a2
1
2
a(h1-h2+h3)=


3
4
a2
∵h1-h2+h3=6,
∴a=4


3

∴S△ABC=


3
4
a2=12


3

故答案为12


3

举一反三
如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AC,若AB=12cm,则CE=______cm.
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如图所示,△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形,两个动点P,Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q运动的时间为t秒时.解答下列问题:
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是______秒;
(2)在P、Q两点运动过程中,当t取何值时,△APQ也是等边三角形?并请说明理由;
(3)当0<t<2时,∠APQ始终是直角,请画出示意图并说明理由.
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以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形,以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形,以此类推,则第十个正三角形的边长是(  )
A.2×(


2
2
10厘米
B.2×(
1
2
9厘米
C.2×(


3
2
10厘米
D.2×(


3
2
9厘米
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如图,以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD,CD交OB于点E,再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF,EF交OD于点G,再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH,…,按此方法操作,最后得到△OMN,此时N在AO延长线上.若AB=1,则ON=______.
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已知等边三角形的边长是2,则这个三角形的面积是______.(保留准确值)
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