D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN，求证：（1）∠MDN=60°；（2）作出△DMN的高D

题型：不详难度：来源：

D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN，
求证：
（1）∠MDN=60°；
（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD．

答案

证明：（1）延长NC到E，使CE=BM，连接DE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在直角△BDM和直角△CDE中，

BD=CD BM=CE

，
∴Rt△BDM≌Rt△CDE，
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE，
∴∠MDE=∠BDC=120°，
在△MDN和△EDN中，

DM=DE DN=DN NM=NE

，
∴△MDN≌△EDN，
∴∠MDN=∠EDN=60°；

（2）∵△MDN≌△EDN，
∴∠MND=∠DNE，
又∵DH⊥MN，DC⊥AC，
∴DH=DC，
∵BD=DC，
∴DH=BD．