已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,OP=a,若OA上有一动点M,OB上有一动点N,则△PMN的最小周长为______.(结果用含a的式子表示)
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已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,OP=a,若OA上有一动点M,OB上有一动点N,则△PMN的最小周长为______.(结果用含a的式子表示) |
答案
作P关于直线OA的对称点C,作P关于直线OB的对称点D,连接CD,交AB于M,交OB于N, 则此时△PMN的周长最小, 连接OC,OD, ∵P关于直线OA的对称点C,P关于直线OB的对称点D, ∴CM=PM,PN=ND,∠COE=∠POE,∠POF=∠DOF,OC=OP=OD=a, ∵∠POM+∠PON=∠AOB=30°, ∴∠COD=∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF=30°+30°=60°, ∴△COD是等边三角形, ∴CD=OC=OD=a, 即△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=a, 故答案为:a. |
举一反三
如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD,求证:△ADE为等边三角形. |
如图,C是线段BD上一点,分别以BC、CD为边作等边三角形ABC和CDE,连接AD、BE.求证:AD=BE. |
设O是等边三角形ABC内一点,已知∠AOB=115°,∠BOC=120°,求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角. |
如图,已知等边△ABC边长为1,D是△ABC外一点且∠BDC=120°,BD=CD,∠MDN=60°. 求证:△AMN的周长等于2. |
如图,已知P是△ABC边BC上一点,且PC=2PB,若∠ABC=45°,∠APC=60°,求:∠ACB的大小. |
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