图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并

图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并

题型:不详难度:来源:
图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:______;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:______个;
(3)图2中,当∠D=50度,∠B=40度时,求∠P的度数.
(4)图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结果,不必证明).

魔方格
答案
(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠C+∠B;                    (2分)

(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;
②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;
③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”;
④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”;
⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”;
⑥线段AN、CD相交于点O,形成“8字形”;
故“8字形”共有6个;                               (4分)

(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②(6分)
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,(7分)
①+②得:
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,(9分)
魔方格

即2∠P=∠D+∠B,
又∵∠D=50度,∠B=40度,
∴2∠P=50°+40°,
∴∠P=45°;                       

(4)关系:2∠P=∠D+∠B.   
由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2,②
 ①+②得:
∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1,
∠D+2∠B=2∠P+∠B,
即2∠P=∠D+∠B.
举一反三
如图,在△ABC中,CD是高线,点E在CD上,且∠ACD=∠DBE,则有(  )
A.BE⊥ACB.BE平分∠ABCC.∠BCD=∠CBED.∠CBD=∠BED
魔方格
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在△ABC中,2∠A=3∠B,∠B=5∠C,则△ABC是(  )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
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在△ABC中,∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC,求∠ADC的度数.魔方格
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如图,在△ABC中,∠BAC=120°,∠1+∠B=60°,则∠1与∠C的大小关系是:∠1______∠C(填“>”、“<”、“=”).魔方格
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在△ABC中,若∠A=∠B=
1
2
∠C,则∠C的度数为______.
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