如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD

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如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，


（1）求证：AD平分∠BDC；
（2）求AC的长；
（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．

答案

证明：（1）∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

；
∴AD平分∠BDC；

（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，


∴∠CDA=∠ACB；
∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC；
∴

AE

AC

=

AC

AD

，即

4

AC

=

AC

9

；
∴AC=6；

证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；
∴∠AIC=∠ACI；
∴AI=AC．