已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O。(1)如图1,连接AF、CE,求证四边形AFCE为菱

已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O。(1)如图1,连接AF、CE,求证四边形AFCE为菱

题型:江苏期中题难度:来源:
已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O。
(1)如图1,连接AF、CE,求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止,在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值;
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式。
答案
解:(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形,
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8﹣x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2
解得x=5,
∴AF=5cm;(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形,
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,
∴5t=12﹣4t,
解得
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒,②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上,
分三种情况:
(i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12(ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12(iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12,
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)。
举一反三
如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF,请你以点F为一个端点与图中已标明字母的某一点连成一条线段,猜想并说明它与图中已有的某一条线段相等(只需说明一组线段相等即可)。
(1)连结______;
(2)猜想:_____=____;
理由如下:

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如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CD,BD=CF。
(1)试说明:DE=DF;
(2)若∠A=40°,求∠EDF的度数。
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如图,已知点O是等边内一点,∠BOC=α,且OC=3,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD。
(1)填空:△COD是_______三角形,OD的长是________;
(2)探究一:若α=150°,OB=4,求OA的长;
探究二:若∠AOB=110°,求当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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已知:△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE,DE。求证:EC=ED。
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如图,△ABC的高BD,CE相交于点O,且OB=OC,AB与AC相等吗?为什么?

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