在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N. (1)如左图,当点M在AB边上时,连接BN,         ①

在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N. (1)如左图,当点M在AB边上时,连接BN,         ①

题型:福建省中考真题难度:来源:
在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如左图,当点M在AB边上时,连接BN,
         ①求证:△ABN≌△ADN;
         ②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α ,求点M到AD的距离及tanα的值;
(2)如右图,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12), 试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形。
答案
(1)①证明:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB- = AD,∠1 =∠2 
      又∵AN = AN
     ∴△ABN ≌ △ADN
      ②解:作MH⊥DA交DA的延长线于点H,由AD∥BC,
     得∠MAH =∠ABC = 60°,
     在Rt△AMH中,MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2
      ∴点M到AD的距离为2
        易求AH=2,则DH=6+2=8
      在Rt△DMH中,tan∠MDH=
     由①知,∠MDH=∠ABN=α.
     故tanα= (2)解:∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形
此时,∠CAD=45°. 下面分三种情形:
   Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°
     此时,点M恰好与点B重合,得x=6;
    Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.
     此时,点M恰好与点C重合,得x=12;
    Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2,
    由AD∥BC,得∠1=∠4,
    又∠2=∠3, ∴∠3=∠4,从而CM=CN,
    易求AC=6,∴CM=CN=AC-AN=6-6,
       故x = 12-CM=12-(6-6)=18-6
综上所述:当x = 6或12 或18-6时,△ADN是等腰三角形 。
举一反三
如图,四边形ABCD中,AD⊥AB   BC⊥AB   BC=2AD   DE⊥CD交AB边于E,连结CE。请找出DE、AE、CE之间的等量关系并加以证明。
题型:广东省期末题难度:| 查看答案
如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=32,分别以BC、CD为边向外作BCE 和DCF,使BE=BC、
DF=DC.∠EBC=∠CDF,延长AB交边EC于点H,点H在E、C两点之间,连结AE、AF.
(1)求证:ABE≌FDA.
(2)当时,求∠EBH的度数.
题型:北京期末题难度:| 查看答案
(1)如图(1),△ABC为正三角形,点M是BC上任一点,点N是边AC上任一点,且BM=CN,直线AM与BN相交于点Q.∠BQM等于多少度?请说明理由;
(2)如图(2),四边形ABCD为正方形,点M是BC上任一点,点N是边CD上任一点,且BM=CN,直线AM与BN相交于点Q.∠BQM等于多少度?简要说明理由;
(3)如图(3),在正五边形ABCDE中,点M是BC上任一点,点N是边CD上任一点,且BM=CN,直线AM与BN相交于点Q.∠BQM等于多少度?
题型:安徽省期末题难度:| 查看答案
已知:如图,矩形ABCD中,BC延长线上一点E满足BE=BD,F是DE的中点,猜想∠AFC的度数并证明你的结论。
题型:北京期末题难度:| 查看答案
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD。AC、BD是对角线,将△ABD沿AB翻折到△ABE的位置。试判断四边形AEBC的形状?并说明你的结论。
题型:河南省期末题难度:| 查看答案
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