在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点。四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M。（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重

题型：广东省期末题难度：来源：

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点。四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M。
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（直接写出结论，不必证明）。

答案

（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
             又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
          ∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90° 
          ∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH 
           ∵∠FMB =∠DMH = 45°，
           ∴∠FMH = 90°，∴FM⊥HM ；
（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P 
           ∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点     
  ∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，且MB=CD=DH
         ∴四边形BCDM是平行四边形
              ∴ ∠CBM =∠CDM 
            又∵∠FBP =∠HDC，
            ∴∠FBM =∠MDH
         ∴△FBM ≌ △MDH
           ∴FM = MH， 且∠MFB =∠HMD 
        又∵MD∥BC，
           ∴∠FMD=∠APM 
        ∴∠FMH =∠FMD-∠HMD =∠APM-∠MFB =∠FBP = 90°
                  ∴△FMH是等腰直角三角形 ；
（3）解：△FMH是等腰直角三角形。