如图,∠MBN的两边BM,BN上分别有两点A、C,满足BC=2BA,作▱ABCD,取AD的中点E,作CF⊥CD,CF与AB所在的直线交于点F.(1)当∠B=90

如图,∠MBN的两边BM,BN上分别有两点A、C,满足BC=2BA,作▱ABCD,取AD的中点E,作CF⊥CD,CF与AB所在的直线交于点F.(1)当∠B=90

题型:不详难度:来源:
如图,∠MBN的两边BM,BN上分别有两点A、C,满足BC=2BA,作▱ABCD,取AD的中点E,作CF⊥CD,CF与AB所在的直线交于点F.
(1)当∠B=90°时,直接写出∠DEF的度数;
(2)在射线BM绕B点旋转的过程中,若∠B=x°,∠DEF=y°(0°<x<180°,0°<y<180°),求:y关于x的函数解析式及相应自变量x的取值范围.
答案
在▱ABCD中,AD=BC.
(1)如图1,当∠B=90°时,▱ABCD是矩形,则点F与点B重合.
∵BC=2BA,点E是AD的中点.
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴∠DEF=180°-∠AEB=135°,即∠DEF=135°;

(2)对∠B的大小分四种情况讨论如下:
①当60°<∠B≤90°时,点F在线段AB上,如图2,连接BE并延长与CD的延长线交于点G,记∠AFE=α.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ABCD,AD=BC,AB=CD,∠3=∠B=x°.
∴∠DGE=∠AFE=α.
可得△AEF≌△DEG.
∴EF=EG,CE为Rt△CFG斜边的中线.
∴EF=EG,∠1=∠G=α.
∵BC=2AB,
∴2DE=2CD,DE=CD.
∴等腰三角形△CDE中,∠1=
180°-∠3
2
=90°-
x
2
=α.
∴∠DEF=180°-∠2=180°-(∠3-∠G)=180°-(x-α)=270°-
3x
2
.            
由(1)知,当∠B=90°时,点F与点B重合,
此时∠DEF=135°,270°-
3x
2
=270°-
3
2
×90°=135°,
所以y=270°-
3x
2
仍成立;

②当∠B=60°时,点F与点A重合,∠DEF=180°不合题意(如图3).

③当90°<∠B<180°时,点F在线段AB的延长线上(如图4).与①同理可得270°-
3x
2
仍成立;

④当0°<∠B<60°时,点F在线段BA的延长线上(如图5).
与①同理可得CE为Rt△CFG斜边的中线,EC=EG,DE=CD.
∴△CEG和△CDE为等腰三角形.
在等腰三角形△CEG中,∠1=180°-2∠2,
在等腰三角形△CDE中,∠CED=∠2=
180°-∠D
2
=
180°-x
2

∴∠DEF=180°-∠3=180°-(∠CED-∠1)=360°-3∠2=90°+
3
2
x.
综合上述:当0°<∠B<60°时,y=90°+
3
2
x.
当60°<∠B<180°时,y=270°-
3
2
x.
举一反三
如图,平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,已知AB=8,BC=6,△AOB的周长为18,那么
△AOD的周长为______.
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如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,则平行四边形ABCD的周长为(  )
A.4+2


2
B.12+6


2
C.2+2


2
D.2+2


2
或12+6


2

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如图,▱ABCD的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD,BC相交于点E,F.若AB=4,BC=7,OE=3,则四边形EFCD的周长为______.
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已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8.
(1)若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;
(2)若AC与BD的夹角∠AOD=60°,求四边形ABCD的面积;
(3)试讨论:若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,试求四边形ABCD的面积(用含θ,a,b的代数式表示).
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如图,在▱ABCD中,E、F分别为BC、AD边上的一点,BE=DF.求证:AE=CF.
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