如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于F,连结BF.(1)求证:CF=BD;(2)若CA=CB,∠ACB

如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于F,连结BF.(1)求证:CF=BD;(2)若CA=CB,∠ACB

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于F,连结BF.

(1)求证:CF=BD;
(2)若CA=CB,∠ACB=90°,试判断四边形CDBF的形状,并证明你的结论.
答案
(1)详见解析 ;(2)四边形CDBF是正方形,证明详见解析.
解析

试题分析:(1)首先证明△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质得:AD=CF,又AD=BD,所以CF=BD.(2)由(1)知AD=CF,从而得到:CF与DB平行且相等.再根据平行四边形的判定定理得四边形CDBF是平行四边形,再根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得:CD=BD,∠CDB=90°,根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知CDBF是菱形,再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知四边形CDBF是矩形,所以它是正方形.
试题解析:(1)∵AB∥CF
∴∠EAD=∠EFC, ∠ADE=∠FCE,
∵DE=CE
∴△ADE≌FCE
∴AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
(2)由(1)知BD=CF
又∵BD∥CF
∴四边形CDBF是平行四边形
∵CA=CB,AD=BD
∴∠CDB=90°,CD=BD=AD
∴四边形CDBF是正方形.
举一反三
如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,BD平分∠ADC,∠ADC=60°,过点B作BE⊥DC,过点A作AF⊥BD,垂足分别为E、F,连接EF判断△BEF的形状,并说明理由

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正方形具有而菱形不一定具有的性质是(   )
A.对角线互相平分B.对角线相等
C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

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如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+FF的值是(   )
A.B.2C.D.

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如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下列结论:①图中有4对全等三角形;②若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;③BD=BF;④S四边形DFOE=S△AOF,上述结论中正确的个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足            条件时,四边形EFGH是矩形.

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