如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在B
题型:不详难度:来源:
如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029030700-75970.png) (1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形; (2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由; (3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由. |
答案
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90° ∵在△PBA和△FBC中,AB=BC,∠PBA=∠FBC,BP=BF, ∴△PBA≌△FBC(SAS)。∴PA=FC,∠PAB=∠FCB。 ∵PA=PE,∴PE=FC。 ∵∠PAB+∠APB=90°,∴∠FCB+∠APB=90°。 ∵∠EPA=90°,∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°,即∠EPC+∠PCF=180°。 ∴EP∥FC,∴四边形EPCF是平行四边形。 (2)结论:四边形EPCF是平行四边形,理由如下: ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠CBF=90°。 ∵在△PBA和△FCB中,AB=BC,∠PBA=∠FBC,BP=BF, ∴△PBA≌△FBC(SAS)。∴PA=FC,∠PAB=∠FCB。 ∵PA=PE,∴PE=FC。 ∵∠FCB+∠BFC=90°,∠EPB+∠APB=90°,∴∠BPE=∠FCB。 ∴EP∥FC,∴四边形EPCF是平行四边形。 (3)有。 设BP=x,则PC=3﹣x ,平行四边形PEFC的面积为S,
。 ∵a=﹣1<0,∴抛物线的开口向下, ∴当x= 时,S最大= 。 ∴当BP= 时,四边形PCFE的面积最大,最大值为 。 |
解析
试题分析:(1)由正方形的性质可以得出AB=BC,∠ABP=∠ABC=∠90°,可以得出△PBA≌△FBC,由其性质就可以得出结论。 (2)由正方形的性质可以得出AB=BC,∠FBC=∠ABC=∠90°,可以得出△PBA≌△FBC,由其性质就可以得出结论。 (3)设BP=x,则PC=3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S,由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式,再根据二次函数的性质就可以求出其最大值。 |
举一反三
如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC外角的平分线,已知∠BAC=∠ACD.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029030655-27142.png) (1)求证:△ABC≌△CDA; (2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形. |
下列命题中的真命题是A.三个角相等的四边形是矩形 | B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 | C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 | D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 |
|
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,BD⊥DC,垂足分别为E,D,DE=3,BD=5,则腰长AB= .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029030603-31572.png) |
已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029030530-94471.png) (1)求证:△ABM≌△DCM (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论; (3)当AD:AB= _时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明) |
如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边B D延长线上一点,连结AC、CE,使AB=AC.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029030514-92647.png) (1)求证:△BAD≌△AEC; (2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积. |
最新试题
热门考点