在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H、四边形EFGH四边的平方和EF2+FG2+GH2+HE2最小时其面积为 .
题型:不详难度:来源:
在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H、四边形EFGH四边的平方和EF2+FG2+GH2+HE2最小时其面积为 . |
答案
2 |
解析
试题分析:利用勾股定理列出四边形EFGH四边的关系,利用配方法求得E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点,从而问题得解. 在正方形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=DA=2; ∴EF2+FG2+GH2+HE2=BE2+BF2+CF2+CG2+GD2+DH2+AH2+AE2, =BE2+BF2+(2-BF)2+CG2+(2-CG)2+DH2+(2-DH)2+(2-BE)2, =2(BE-1)2+2(BF-1)2+2(CG-1)2+2(DH-1)2+8≥8, 当EF2+FG2+GH2+HE2最小为8时,可得, AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH, 即E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点, 由此得出四边形EFGH为正方形,其面积为EF2=BF2+BE2=2. 点评:解题的关键是熟练掌握正方形的四条边相等,四个角都是直角. |
举一反三
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)当t=2时,求△BPQ的面积; (2)若四边形ABQP为平行四边形,求运动时间t. (3)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形? |
如图,已知四边形ABCD是平行四边形. (1)求证:△MEF∽△MBA; (2)若AF、BE分别是∠DAB,∠CBA的平分线,求证:DF=EC. |
(1)如图①,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF. (2)如图②,将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.求证:EI=FG. |
从十六边形的某个顶点出发,有__________条对角线,它们把这个十六边形分成__________个三角形. |
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